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经济数学基础作业 2
（积分学部分第 1 章不定积分——第 2 章定积分）
知识要点：
1．理解原函数与不定积分概念。
原函数的概念：若函数F (x)的导数等于
f (x)的原函数。
注意：（1）原函数不是唯一的。若
f (x)，即F (x) f(x)，则称函数F (x)是
F (x) f (x)的原函数，则 F (x) c都是 f(x)
是
c
的原函数（其中 是任意常数）。
F (x) G (x)都是 f(x)的原函数，则 G (x) F (x) c
和
（2）原函数的表示形式。若
c
（ 是常数）
不定积分的概念：
F (x) c
（其中 是任意常数）称为
f(x)的不定积分，记为
c
原函数的全体
f(x)dx F (x) c。
=
（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系
不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求
导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即
( f(x)dx) f(x) f (x)dx f (x) c
=
,
2．了解定积分的概念，定积分的几何意义，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．
奇偶函数在对称区间上的定积分有以下结果：
f(x)是奇函数，则有
a
f (x)dx 0
f (x)dx 2
若
a
f(x)是偶函数，则有
a
a
f (x)dx 2
0
f (x)dx
若
a
0
a
3．知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。
不定积分和定积分的关系：
b
f (x)dx F (x) F (b) F (a)
b
牛顿
莱布尼兹公式：
a
a
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常用的积分方法有：
（1）运用积分基本公式直接进行积分；
（2）第一换元积分法（凑微分法）；
u(x)v (x)dx u (x)v(x) u (x)v(x)dx
（3）分部积分法，不定分部积分公式：
udv uv vdu
或
主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：
x e dx u (x) x ,v (x) e
x
①幂函数与指数函数相乘；
②幂函数与对数函数相乘；
③幂函数与正（余）弦函数相乘；
n x
，令
n
x lnxdx,( 1) u (x) lnx,v (x) x
，令
，
x sin xdx x cos xdx, u (x) x ,
n
n
或
n
令
作业 2解答
一．填空题
f (x)dx 2 2x c
1．若
x
，则 f（x）=
f(x)dx F (x) c, (F (x) c) f (x)
则
解：1 因. 为若
f (x) (2 2x c) 2 ln2 2
因此
2．
x
x
(sinx)dx
f (x)dx f (x) c
解：由不定积分和导数的关系：
则
(sinx)dx sinx c。
f(x)dx F (x) c, e f(e )dx
3．
则
x
x
f(x)dx F (x) c,
解：因为
e f(e )dx f(e )d (e ) F(e ) c
。
则
x
x
x
x
=
x
d e
ln(1 x )dx
4．
2
dx
1
e
ln1( x )dx
解：因为定积分
2
是常数，常数的导数为零，
1
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d e
ln1( x )dx 0
因此
2
dx
1
1
0
p (x)
dt, P (x)
则
5．若
1 t2
f (t)d t F (x) F (a) F (x) f (x)
，
x
x
解：因为
，则
a
1
1
1
0
x
0
p (x)
dt
dt, P (x)
则
。
1 t2
1 t2
1 x2
x
二．单项选择题
1．下列函数中，（ ）是x sinx2 的原函数。
1
cosx 2 cosx
B.
A.
C.
2
2
2
2 cosx2
1 cosx2
D.
2
解：原函数的概念：若F (x) f(x)
F (x) f (x)
，则称函数 是 的原函数。
1 cosx2
2
1
2
sinx 2x x sinx
2
A 是错误的。因为
=
2
正确的选项是 D.
2．下列等式成立是（ ）
1
sinxdx d (cosx) lnxdx d( )
A.
B.
x
1
1
2 dx d(2 ) dx d x
D.
C.
x
x
ln2
x
解：A 是错误的。因为d (cosx) (cosx) dx sinxdx；
1 1
1
d( ) ( )dx dx
是B错误的。因为
是C正确的。因为
；
x x
x
2
1
1
1
d(2 ) (2 )dx 2 ln2dx 2 dx
；
x
x
x
x
ln2
ln2
ln2
1
d x ( x)dx dx
2 x
是D错误的。因为
正确的选项是 C 。
3．下列不定积分中，常用分步积分法计算的是（ ）
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cos(2x 1)dxB. x 1 x2dx
x
A.
C.
xsin2xdxD.
dx
1 x2
x e dx
，
x lnxdx,(
1)，
解：常用分部积分法计算的积分有：
n
x
xn sin xdx
xn cos xdx 。
或
该题正确的选项是 C
4．下列定积分计算正确的是（ ）
1
16
2 xdx 2B. dx 15
A.
1
1
2
sinx dx 0D. sinxdx 0
C.
2
1
2 xdx 2x1 2 ( 2) 4
解：A 是错误的。因为
1
1
16
dx x 16 ( 1) 17
16
B是错误的。因为
1
1
C是错误的。因为函数sinx
是偶函数，因此
2
2
2
sinx dx 2 sinx dx 2 sinxdx 2 cosx 0 2 2
=
2
0
0
0
2
D 是正确的。因为函数sinx是奇函数，因此
5．下列无穷积分中收敛的是（ ）
sinxdx 0。
1
1
dx dx
A.
C.
B.
x x
2
1
1
edx sinxdx
D.
x
0
0
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1
x
1
b
dx lim dx limlnx lim(lnb l n1)
b
．5 解：A 是错误的。因为
是发散的。
x
1
b
b
b
1
1
1
1
1
1
b
dx lim dx lim( ) lim( 1) 1
b
是B正确的。因为
x2
x
x
b
2
b
b
b
1
1
1
b
edx lim edx lim(e 1)
是发散的。
C 是错误的。因为
D 是错误的。因为
x
x
b
b
b
0
0
0
b
sinxdx lim sinxdx lim( cosb 1)
=
是发散的。
b
b
0
正确的选项是 B 。
三．解答题
1 计算下列不定积分
3x
dx
（1）
ex
n
n
3x
ex
3
M
dx ( )xdx
=
解： （1）
log log log
e
ax
c
3
3
lna
( )
( )
x
x
e
e
c
c
=
3
ln3 1
ln( )
e
(1 x)2
dx
（2）
x
x
(1 x) 1 2x x
1
2
2
x dx
c,( 1)
dx
dx
解：
1
x
x
1
(x 2x x )dx
1
3
=
2
2
2
4 2
2
3 5
3
2x x x c
5
1
=
2
2
x2 4
x 2
dx
（3）
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x2 4
x 2
dx (x 2)dx
解：
=
1
x2 2x c
=
2
1
dx
（4）
1 -2x
1
1 1
dx
d(1-2 x)
解：
=
1
1 -2x 2 1 -2x
dx d(1 2x)
2
1
=ln1 2x c
2
x 2 x2dx
（5）
1
1
1
x 2 x dx (2 x ) d(2 x )
解：
2
2
2
则 f( (x) (x)d x f( (x))d (x)
2
2
1
1
1 2
2 3
3
(2 x ) c
=
2
2
2
2
1
3
3
(2 x ) c
=
2
2
sin x
x
dx
（6）
sinxdx cosx c
sin x
x
1
dx 2sin xd x
解：
=
dx 2d x
x
2 cos x c
x
=
xsin dx
2
（7）
解：
uv dx uv u vdx
xn sin xdx,令u xn
x
x
2
xsin dx 2 xd cos
2
x
x
x
x
2
2x cos 2 cos dx
2
=
sin dx 2d cos
2
2
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x x
2x cos 4 sin c
2 2
=
（8）
解：
ln(x 1)dx
ln(x 1)dx ln(x 1)d(1 x)
=
x lnxdx,( 1)令 u lnx
1 x
=(1 x)ln(1 x)
(1 x)ln(1 x) x c
dx
1 x
=
2．计算下列定积分
2
1 xdx
（1）
1
b
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
b
2
1
2
1 xdx 1 xdx 1 xdx
解：
a
c
1 x
1
1
1
x 1,x 1
1
2
(1 x)dx (x 1)d x
=
1
1
x
1
(x ) ( x)
x
2
2
2
=
2 2
1
1 4 1 5
1
1
1 ( 1 ) 2 ( 1)
=
2
2 2 2 2
1
x
e
2
dx
（2）
x2
e dx e c
x
1
x
1
x
e
1
2
1
2 1
1 dx d 1
dx e d
解：
=
x
x2
x
x
x
2
1
2
1
e e e
1
x
2
1
1
e3
dx
（3）
解：
1
x 1 lnx
x dx
x1 c
1
1
1
e3
e3
dx (1 lnx) d(1 lnx)
1
1
x
=
dx d(1 lnx)
2
x 1 lnx
1
1
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e3
2 1 lnx
=
1
2 1 lne 2 1 ln1
3
=
=2
2
0
x cos2 xdx
（4）
解：
uv dx uv u vdx
xn cos x d x,令u xn
1
2
2
x cos2 xdx xd sin2x
=
2
0
0
1
cos2xdx d sin2x
1
1 2
2
xsin2x
2
sin2 xdx
=
2
2
0
0
1
1 1
2 2
sin
=
( cos2x)2
2 2
0
1
1
1
2
cos cos0
=
4
4
e
x lnxdx
（5）
1
uv dx uv u vdx
x
e
e
2
x lnxdx lnxd( )
解：（5）
2
x lnxdx,( 1),
令u lnx
1
1
x2
2
e
1
x 1
e 2
lnx
dx
2 x
=
1
e 1
2
e
lne x
=
2 4
2
2
1
e 1 1
2
e
2
2 4 4
1 1
e
2
=
4 4
4
0
(1 xe )dx
x
（6）
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4
0
4
(1 xe )dx 1dx xe dx
4
解：
x
=
x
0
0
uv dx uv u vdx
x e d x,令u x
4
x xde
4
=
x
n
x
n
0
0
e dx de x
x
4
4 (xe=x
4
0
e dx)
x
0
4 (4e e x
4
0
)
=
4
4 4e (e 1) 5 5e
4
4=
4
9 / 9