文档介绍：设而不求,多思少算
作者:陈建设福建省南安一中(邮编:362300)
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摘要:解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点,其难度经常体现在运算上,例如求交点坐标、直接运用两点间距离公式和夹角公式以及和对称点相关的问题等,都让解题的过程增加令人“头肿三倍大”的计算。本文介绍一种需要多思考、认真审题,但能够降低计算难度的解题策略——设而不求。
关键词:设而不求
一、设而不求,方程相减得所求直线方程。
例1:已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-1)2+(y-1)2=1,求二圆公共弦所在直线方程。
分析:容易想到联立两个方程求得二圆的交点坐标,并利用“两点式”求出直线方程。可是明显计算量过大。事实上,考虑设二圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A点同时满足圆C1和圆C2的方程,即x12+y12=1且(x1-1)2+(y1-1)2=1,所以x12+y12 –[(x1-1)2+(y1-1)2]=1-1=0,即得x1+y1-1=0,所以A点满足方程x+y-1=0——为一个直线方程,同理,点B亦满足这个直线方程。综上可知,点A与点B均在直线x+y-1=0上,故而二圆公共弦即交点连线所在直线方程就是x+y-1=0。
上述分析似乎很烦,但若明白其理,本题的解题过程可以简化为:
解:设C1和C2的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,y1),B(x2,y2)同时满足x2+y2-[ (x-1)2+(y-1)2]=0,,即x+y-1=0,
∴lAB:x+y-1=0就是所求。
言简意赅,只是思考的过程多了。诚然,对于例1的这种解法并不新鲜,但若对这种“设交点而不求交点,但利用它解题”的设而不求的策略进行推广,便可以使几类型的题目的解题思路“豁然开朗”。
推论1:对于曲线C1:f1(x,y)=0, C2:f2(x,y)=0,若C1和C2交于两点A、B,且f1(x,y)- f2(x,y)=0为直线方程,则曲线C1和C2的公共弦所在直线方程为f1(x,y)- f2(x,y)=0。(证明类似例1的分析,略。)
例2:抛物线C1:y2=ax与它关于点(1,1)对称的抛物线C2有两个不同的交点,若过这两个交点的直线倾斜角为45°,求实数a。
解:设与抛物线y2=ax关于P(1,1)对称的抛物线上任一点为M(x,y),则M关于P的对称点(2-x,2-y)在y2=ax上,
∴(2-y)2=a(2-x)即(y -2)2=为曲线C2的方程;
设C1和C2交于A,B两点,由(y -2)2 -a(2-x)-[ y2- ax]=0
即方程-2ax + 4y-4+2a=0为直线方程,∴由推论1得
lAB:-2ax + 4y- 4+2a=0
又 lAB倾斜角为45°,∴直线斜率为1,即知a=2。
例3:抛物线x2=3y上两点A,B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R,且p,q是常数)的两个实根,求直线 AB的方程。
解法1:设lAB:y=kx+b(k存在), 代入x2=3y整理得
x2-3kx-3b=0……(1)
由题意可知(1)是以A,B两点横坐标x1,x2为解的方程即x2+px+q=0。
∴∴ lAB:y=kx+b即px+3y+q=0。
解法2:设A(x1,y1),B(x2,y2)为曲线x2=3y与曲线x2+px+q=0(注:这里将二次方程看作直线x= x1和x= x2)的交点,而x2-3y- [x2+px+q]=0 即px+3y+q=0为直线方程,由推论1知即为所求。
对于例2而言,若依据推论1,真正意义上的运算已经很少了;而例3举出两种解法作比较,让解法2的“设而不求,多思考少运算”的优势更为明显。其实,推论1还可以继续一般化,容易得到:
推论2:若曲线C1:f1(x,y)=0, C2:f2(x,y)=0有若干公共点,则曲线pf1(x,y) -qf2(x,y)=0(p,q∈R)过这若干点。(证明略)
例4:过直线l:2x+y-4=0和圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且有最小面积的圆的方程。
解:设过直线和圆C1交点的交点圆方程为:
x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y-4 )=0
配方整理得
∴当λ=,圆半径最小,这时圆面积最小
∴圆方程。
上述设而不求举措还可以解决二元二次曲线中,与弦中点相关的一些题目。
二、设而不求,代两交点坐标到圆锥曲线方程中,对两方程进行作差得弦中点和弦斜率的关系——简称“代点作差”)。
推论3:若斜率为k的直线l与圆锥曲线(m,n≠0)交于A,B两点,AB的中点为M (x0,y0), 则k=.
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),