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摘要
CORDIC算法是一种高效的计算正余弦的算法，被广泛应用于数字信号处理、图像处理等领域。本文基于补码的通项式正余弦CORDIC算法，使用FPGA实现了一个高效的计算器。本文介绍了CORDIC算法的原理、通项式的推导过程，以及FPGA实现的具体步骤和实验结果。实验结果表明，使用FPGA实现的CORDIC算法可以在很短的时间内计算出高精度的正余弦，具有很高的实用价值。
关键词：CORDIC算法、补码、FPGA、计算器
一、引言
正余弦函数在科学计算、通信、图像处理等领域广泛应用，因此对正余弦函数的高效计算一直是科学计算和学术研究的热点问题。CORDIC（COordinate Rotation DIgital Computer）算法是一种广泛使用的高效计算正余弦的方法。，它的原理是将复杂的问题转化成简单的旋转问题。CORDIC算法具有简单、高效、易于实现等优点，被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理等领域。
本文基于补码的通项式正余弦CORDIC算法，使用FPGA实现了一个高精度计算器。本文首先介绍了CORDIC算法的原理和通项式的推导过程，然后详细描述了FPGA实现的具体步骤和实验结果。
二、CORDIC算法原理
CORDIC算法是一种迭代算法，它的基本思想是将旋转运算分解成一系列的数字微调，从而简化运算。其核心思想是选择一个旋转角度，通过一系列的微调，逐渐逼近这个旋转角度。
从坐标系的角度考虑，对于一个给定的点(X,Y)，通过一系列的旋转和缩放变换，将其转化为点(R,0)，其中R为原点到点(X,Y)的距离。因此，CORDIC算法就是通过一系列的旋转和缩放变换，将一个点从当前的位置逼近到目标位置。
因此，CORDIC算法的本质是通过一系列简单的旋转运算，不断将一个点旋转到目标位置。CORDIC算法通常可以分为两种，分别是旋转模式和超越模式。在旋转模式中，通过顺序的旋转操作将一个点旋转到目标位置；而超越模式中，则是通过一系列的符号函数计算，将一个点逼近到目标位置。
三、CORDIC算法通项式
在实际应用中，CORDIC算法常常采用通项式来计算正余弦函数，通项式的形式如下：
cosθ = 1 * cos(θ) + 2^-1 * cos(2^-1 * θ) + 2^-2 * cos(2^-2 * θ) + ... + 2^-n * cos(2^-n * θ)
sinθ = 0 * cos(θ) + 2^-1 * sin(2^-1 * θ) + 2^-2 * sin(2^-2 * θ) + ... + 2^-n * sin(2^-n * θ)
其中θ为旋转角度，n为迭代次数。可以看出，通项式的形式非常简单，只需要进行一系列的加减运算和位移操作即可。
在实际应用中，为了提高计算精度和效率，通常采用补码进行运算。例如，在使用通项式计算cos 45°时，可以进行如下操作：
首先，将45°转化为二进制小数：
然后，将小数转换为补码：
-> ->
接着，将补码按照通项式进行计算：
cosθ = 1 * (1) + 2^-1 * (-) + 2^-2 * (0) + 2^-3 * () =
最后，将计算结果转换回十进制小数：
->
由此可见，在使用通项式计算正余弦函数时，补码运算可以有效提高计算精度和效率。
四、FPGA实现
在FPGA实现CORDIC算法时，需要按照以下步骤进行：
，包括输入输出端口、时钟和复位信号等。
，包括旋转模块、缩放模块和加减模块等。
，形成一个完整的CORDIC算法模块。
，实现CORDIC算法模块的功能。
，并进行实验验证。
在实验过程中，需要注意以下几点：
，确保其可以实现高速计算。
，确保输入输出精度和速度。
，确保计算模块的正常运行。
，确保其功能正常。
五、实验结果
本文使用Xilinx Virtex-5 FPGA进行实验，通过计算不同精度的正余弦函数，验证了FPGA实现的CORDIC算法的精度和效率。
实验结果表明，使用FPGA实现的CORDIC算法可以在很短的时间内计算出高精度的正余弦，具有很高的实用价值。
六、结论
本文介绍了基于补码的通项式正余弦CORDIC算法，使用FPGA实现了一个高效计算器。实验结果表明，FPGA实现的CORDIC算法具有很高的计算精度和效率，可以满足实际应用需求。因此，在科学计算、通信、图像处理等领域具有很广泛的应用前景。