人教高中数学思想03 数形结合思想（练）【解析版】.docx

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思想03 数形结合思想（练）
一、单选题
1．（2023秋·天津·高三统考期末）函数在区间上的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用得解.
【详解】，令
，
则是偶函数，选项A，B是不正确的；
又因为，所以C不正确.
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于A，根据可知A不正确；对于C，利用导数可得在上单调递减，可知C不正确；对于D，根据
为奇函数，可知D不正确.
【详解】对于A，因为，由图可知，A不正确；
对于C，，令，
则，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
因为，所以在上恒成立，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以排除C.
对于D，的定义域为，关于原点对称，，为奇函数，其图象关于原点对称，由图可知，D不正确.
故选：B.
3．（河南省top20名校联盟2023届高三下学期2月联考理科数学试题）已知，，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可得，设，其中，分析函数的单调性，可得出结论.
【详解】解：，
则有，即．
因为，，所以，
设，其中，
因为函数、在上均为增函数，则函数在单调递增，则，即，A对B错，其它选项无法判断.
故选：A．
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数满足，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出的解析式，在同一坐标系中作，，，的图象，得到，借助的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以，
联立，得，在R上单调递减，
在同一坐标系中作，，，的图象，如图，
所以，故.
故选：B.
5．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，，P是椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与焦点间的最短距离为（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意推出所以，即可确定Q的轨迹是以O为圆心，半径为4的圆，结合圆以及椭圆的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意椭圆可知，
如图所示，因为是的外角平分线，，
设交的延长线于点E，
则，所以Q是线段的中点，且.
由椭圆定义可知.
连接，因为O为的中点，所以，
所以Q的轨迹是以O为圆心，半径为4的圆，
所以当Q与椭圆的长轴的端点重合时到椭圆相应的焦点的距离最短，
故最短距离为，
故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）定义在R上的奇函数满足，且当时，．设直线与函数的图象相交于点，记，则（    ）．
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性可得函数的周期为，且得图象关于对称；作出函数的图象和直线，研究它们的交点情况，即可得结果.
【详解】因为为定义在R上的奇函数，得．
由，得函数的图象关于直线对称，
则，所以，所以，即4为函数的一个周期．
又，且，故，所以函数的图象关于点对称．
在同一平面直角坐标系内作出的图象与直线，如图所示，
由图可知它们共有11个不同的交点，且除交点外，其余10个交点关于点中心对称，
不妨设，则，
所以，，
所以.
故选：C．
7．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得点在圆内部和圆周上，点的轨迹是以的直径的圆，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，易得，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为，设动点满足，
所以点在圆内部和圆周上，
因为动点满足，
所以点的轨迹是以的直径的圆，
如图，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，
则，
若点在圆上时，两点重合，两点重合，
若点在圆内时，则，
所以，当且仅当点在圆上时，取等号，
则，当且仅当三点共线时，取等号，
因为，当且仅当重合时，取等号，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，此时，
所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，取等号，
所以的最大值为.
故选：C.
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，设，，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时与，作出圆锥的外接球，设外接球半径为，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.
【详解】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，
则，，
因为⊥，⊥，所以∽，则，
设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥的外接球球心为，连接，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为.
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
二、多选题
9．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意画出函数的图象，结合图象可知：当时，直线与的图象有2个交点，当直线与曲线相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.
【详解】函数的图象，如图所示：
由题意知，直线与的图象有2个交点．
当直线过点时，，
当直线过点时，．
结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线与曲线相切在第一象限时，
直线与的图象也有2个交点，如图所示：
，化简可得，由，得，
又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是.
故选：BCD．
10．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）如图，在正方体中，E为棱上的一个动点，F为棱上的一个动点，则直线与平面EFB所成的角可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、直线与平面夹角的计算公式进行求解判断.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，，，其中m，，
则，，，，，，，，
设平面EFB的法向量为，则，即，
取，则．
设直线与平面EFB所成的角为θ，，
当时，，当时，，
该式随着m的增大而增大，随着n的增大而减小，当，时，取得最大值，所以，
综上，的取值范围是，所以，故CD错误.
故选：AB.
11．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ）