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弹性变形
1、简单加载下的弹性变形
纯拉伸时：
纯剪切时：
泊松比：
剪切弹性模量：
正弹性模量：
三个弹性常数之间的关系：
弹性变形－施加外力即刻产生、去除外力即刻回复的变形。其特征为：
变形量与作用力呈单值、唯一正比关系，与加载路径无关；
变形是瞬时达到的，与时间无关。
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2、复杂加载下的弹性变形－广义虎克定律
1）普遍表达式
在① 连续、② 均匀、③ 无初应力、④ 变形微小的基本假设下，可推导出表示线弹性固体中任意一点的应力－应变关系的广义虎克定律。
由连续性假设
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1）普遍表达式（续1）
在变形微小的假设下，将上式在εij = 0 处展开成Tailor级数，并略去二次方及以上的项：
……
……
……
……
……
在无初应力的假设下，当εij = 0 时，σij = 0 ，于是有：f(0,0,…,0) = 0，则有：
式中，｛σ｝和｛ε｝均为 6 阶列矢量，[Cij]为 6×6阶方阵，且有：
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1）普遍表达式（续2）
由均匀性假设可知，若各点应力状态相同，则必对应相同的应变状态；反之亦然。这说明Cij为常数，称为刚度系数，即上式为线性关系，此即广义Hooke 定律：
广义Hooke定律的应变表达式：
式中，Sij 称为柔度系数，可由刚度系数求逆得到，即：
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2）刚度系数的对称性
以应变能密度表示应力－应变关系：
由广义Hook定律的第一式，得：
再将此式对εyy 求偏导，得：
同样对广义Hook定律的第二式处理可得：
因偏导数与微分顺序无关，故：
线弹性体单位体积应变能：
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3）弹性对称性
在弹性体内，若过每一点的不同方向的弹性都不相同，则称为各向异性，Cij 有21个；若过每一点的不同方向的弹性都相同，则称为各向同性，独立的Cij 有2个。而介于二者之间的则具有某类弹性对称性。
所谓弹性对称面：是指过物体中的每一个点都有这样一种平面，相对于该平面的对称方向上，弹性相同。垂至于弹性对称面的轴称为弹性主轴。
由弹性对称面的定义可知，当把弹性主轴倒置时，应具有相同的应力－应变关系，即Cij 不会改变。
然而，应变能W是应变的单值、标量函数，不会因坐标的改变（弹性轴倒置）而改变其量值，但是当坐标轴倒置后，某些应变分量将变号，因此会限制某些刚度系数的取值。
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应变能密度展开式
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（1）有一个弹性对称面（xoy面）
将 z 轴倒置成 z′轴，有 z′=-z，w=-w′，考察与 z′有关的应变分量：
为保证应变能W值不变，含εyz 和εzx 一次方的项前的弹性常数必须为0，即：
刚度系数减少了8个，仅剩下13个。
u、ν、ω分别为x、y、
z轴方向上的位移分量
一个弹性对称面，
13个刚度系数
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（2）有三个相互垂直的对称面－正交异性
沿用上述方法，取 x、y、z 三轴为弹性主轴，则：
首先将 z 轴倒置后有：
其次将 y 轴倒置，因εyz 变号有： （已有）
因εxy 变号有： （新增）
最后将 x 轴倒置，但不会得到新的为0的系数。
故在正交各向异性状态下，弹性常数减少了12个，只剩下9个：
拉压－剪切耦合（交叉效应）
出面剪切耦合
两个或者三个互相
垂直的弹性对称面，
都是9个刚度系数
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