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考试时间： 90分钟 总分： 150分 年级/班级： 高一〔1〕班
一、选择题〔每题5分，共30分〕
要求：从每题的四个选项中，选择一个正确答案，并将答案填入题后的括号内。
1. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x + 1，假设f(x)在区间[0, 2]上存在极值，那么f'(x) = 0的根的个数是〔 〕
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 设a、b是实数，假设a^2 + b^2 = 1，那么a^4 + b^4的最小值是〔 〕
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 知晓等差数列{an}的公差为d，假设a1 = 3，a5 = 11，那么d的值为〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 假设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，那么复数z的实部是〔 〕
A. 0
B. 1
C. -1
D. 无法确定
5. 知晓函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，假设f(x)在区间[0, 2]上的最大值是3，那么x的值为〔 〕
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6. 假设函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a > 0，b = 0，c = 1，那么函数的对称轴方程是〔 〕
A. x = 0
B. x = 1
C. x = -1
D. x = 2
二、填空题〔每题5分，共30分〕
要求：将答案填入题后的括号内。
1. 假设等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，那么第10项an = 〔 〕
2. 知晓函数f(x) = x^2 - 4x + 3，假设f(x)在区间[1, 3]上的最大值是2，那么x的值为〔 〕
3. 设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，那么复数z的实部是〔 〕
4. 假设等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = -2，那么第n项an = 〔 〕
5. 知晓函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，假设f(x)在区间[0, 2]上的最小值是1，那么x的值为〔 〕
6. 假设函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a > 0，b = 0，c = 1，那么函数的对称轴方程是〔 〕
三、解答题〔每题20分，共60分〕
要求：写出解题过程，并求出答案。
1. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
2. 设等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第10项an和前10项的和S10。
3. 知晓函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
4. 设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，求复数z的实部和虚部。
5. 知晓等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = -2，求第n项an和前n项的和Sn。
6. 假设函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且a > 0，b = 0，c = 1，求函数的对称轴方程和顶点坐标。
三、证明题〔每题20分〕
要求：证明以下命题的正确性。
1. 证明：假设函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 2]上存在极值，那么f'(x) = 0的根在区间(0, 2)内。
四、应用题〔每题20分〕
要求：根据题意，列出方程或方程组，并求解。
2. 一辆汽车从A地出发，以60千米/小时的速度行驶，2小时后，另一辆以80千米/小时的速度从A地出发追赶。求追赶时两车相距的最短距离。
五、函数题〔每题20分〕
要求：根据题意，求出函数的解析式，并分析函数的性质。
1. 知晓函数f(x)在定义域内满足以下条件：
〔1〕f(0) = 0
〔2〕f'(x) = 3x^2 + 2x + 1
〔3〕f(x)在区间[0, 1]上单调递增
求函数f(x)的解析式，并判断f(x)在区间[0, 1]上的极值点。
六、数列题〔每题20分〕
要求：根据题意，找出数列的通项公式，并求出数列的前n项和。
2. 设数列{an}满足以下条件：
〔1〕a1 = 1
〔2〕对于任意的n≥2，有an = 3an-1 - 2an-2
求出数列{an}的通项公式an，并计算数列的前n项和Sn。
本次试卷答案如下：
一、选择题〔每题5分，共30分〕
1. B
解析：函数f(x) = x^3 - 3x + 1的导数f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = 1。因为f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，所以x = 1是极小值点。在区间[0, 2]上，只有一个极值点。
2. A
解析：由a^2 + b^2 = 1，得(a^2 + b^2)^2 = 1。展开得a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = 1，即a^4 + b^4 = 1 - 2a^2b^2。由于a^2b^2 ≤ (a^2 + b^2)/2 = 1/2，所以a^4 + b^4 ≥ 1 - 2 * 1/2 = 1。
3. C
解析：由等差数列的性质，a5 = a1 + 4d，代入a1 = 3和a5 = 11，得3 + 4d = 11，解得d = 2。
4. B
解析：由|z - 1| = |z + 1|，得(z - 1)^2 = (z + 1)^2。展开得z^2 - 2z + 1 = z^2 + 2z + 1，解得z = 0。所以复数z的实部是0。
5. B
解析：函数f(x) = (x - 1)^2 + 2的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为(1, 2)。在区间[0, 2]上，最大值为顶点的y坐标，即2。
6. B
解析：由y = ax^2 + bx + c的对称轴公式x = -b/(2a)，得x = -0/(2*1) = 1。所以对称轴方程是x = 1。
二、填空题〔每题5分，共30分〕
1. 29
解析：等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得an = 2 + (10 - 1)*3 = 29。
2. 2
解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3的导数f'(x) = 2x - 4。令f'(x) = 0，解得x = 2。因为f''(x) = 2，f''(2) = 2 > 0，所以x = 2是极小值点。在区间[1, 3]上，最大值为f(2) = 2。
3. 0
解析：由|z - 1| = |z + 1|，得(z - 1)^2 = (z + 1)^2。展开得z^2 - 2z + 1 = z^2 + 2z + 1，解得z = 0。所以复数z的实部是0。
4. -2n + 5
解析：等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3和d = -2，得an = 3 + (n - 1)(-2) = -2n + 5。
5. 1
解析：函数f(x) = (x - 1)^2 + 2的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为(1, 2)。在区间[0, 2]上，最小值为顶点的y坐标，即2。
6. x = 1
解析：由y = ax^2 + bx + c的对称轴公式x = -b/(2a)，得x = -0/(2*1) = 1。所以对称轴方程是x = 1。
三、解答题〔每题20分，共60分〕
1. 解析：f(x) = x^3 - 3x + 1的导数f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = 1或x = -1。在区间[0, 2]上，f(0) = 1，f(1) = -1，f(2) = 1。所以最大值为1，最小值为-1。
2. 解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，得an = 2 + (n - 1)*3 = 3n - 1。前10项的和S10 = (a1 + a10) * 10 / 2 = (2 + 29) * 10 / 2 = 145。
3. 解析：f(x) = x^2 - 4x + 3的导数f'(x) = 2x - 4。令f'(x) = 0，解得x = 2。在区间[1, 3]上，f(1) = 0，f(2) = 1，f(3) = 2。所以最大值为2，最小值为0。
4. 解析：由|z - 1| = |z + 1|，得(z - 1)^2 = (z + 1)^2。展开得z^2 - 2z + 1 = z^2 + 2z + 1，解得z = 0。所以复数z的实部是0，虚部是0。
5. 解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，得an = 3 + (n - 1)(-2) = -2n + 5。前n项的和Sn = (a1 + an) * n / 2 = (3 + (-2n + 5)) * n / 2 = (n^2 - 2n + 8) * n / 2。
6. 解析：由y = ax^2 + bx + c的对称轴公式x = -b/(2a)，得x = -0/(2*1) = 1。所以对称轴方程是x = 1。顶点坐标为(1, y)，代入y = ax^2 + bx + c，得y = a + b + c。由题意，a > 0，b = 0，c = 1，所以顶点坐标为(1, a + 1)。
本次试卷答案如下：
四、应用题〔每题20分〕
2. 解析：设两车相遇时行驶的时间为t小时，那么第一辆车行驶的距离为60t千米，第二辆车行驶的距离为80(t - 2)千米。两车相距的最短距离发生在它们相遇的瞬间，即60t = 80(t - 2)。解这个方程得t = 16/5小时。此时，两车相距的最短距离为第二辆车行驶的距离减去第一辆车行驶的距离，即80(16/5 - 2) - 60(16/5) = 16千米。
五、函数题〔每题20分〕
1. 解析：由f'(x) = 3x^2 + 2x + 1，得f(x) = x^3 + x^2 + x + C。由f(0) = 0，得C = 0。所以f(x) = x^3 + x^2 + x。因为f(x)在区间[0, 1]上单调递增，所以f'(x)在区间[0, 1]上非负。f'(x) = 3x^2 + 2x + 1在区间[0, 1]上恒大于0，因此f(x)在区间[0, 1]上没有极值点。
六、数列题〔每题20分〕
2. 解析：由an = 3an-1 - 2an-2，得an - 3an-1 = -2an-2。这是一个二阶线性递推关系。设an = rn，代入得rn - 3rn-1 = -2rn-2。这是一个特征方程，其解为r^2 - 3r + 2 = 0，解得r1 = 1和r2 = 2。因此，数列{an}的通项公式为an = A*1^n + B*2^n。由a1 = 1和a2 = 3an-1 - 2an-2，得A + 2B = 1和A + 4B = 3。解这个方程组得A = -1和B = 1。所以an = (-1)*1^n + 1*2^n = 2^n - 1。数列的前n项和Sn = Σ(2^k - 1)〔k从1到n〕= (2^(n+1) - 2) - n。