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全国通用高中数学必修二第十章概率(二十)
10
单选题
1、某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（    ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，
则 ，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D
2、下列概率模型中不是古典概型的为（    ）
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
答案：C
分析：根据古典概型的特点，即可判断出结果.
2
解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.
显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；
C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.
故选：C.
3、“某彩票的中奖概率为”意味着（    ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
答案：D
分析：根据概率的意义判断各选项即可.
概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，
“某彩票的中奖概率为”意味着购买彩票中奖的可能性为.
所以答案是：D
4、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（    ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”
3
答案：A
分析：根据互斥事件的概念判断即可.
“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B不正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；
“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D不正确．
故选:A.
5、从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（    ）
A．至少有1个红球B．至少有1个黑球
C．至多有1个黑球D．至多2个红球
答案：C
分析：根据对立事件的定义判断即可
由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，
故选：C
6、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占，澳门课堂女生占，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（       ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.
4
解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占，澳门课堂女生占，
所以香港女生数为总数的，澳门女生数为总数的，
所以提问的学生恰好为女生的概率是.
故选：C.
7、如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），，最大射程为200公里，，主要攻击高空敌机或导弹，，单发红旗-，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（    ）
A．．．．
答案：A
分析：根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为
故选：A
8、若随机事件A，B互斥，且，，则实数a的取值范围为（    ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.
5
由题意，知，即，
解得，所以实数a的取值范围为.
故选：A.
多选题
9、袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（    ）
A．甲与乙互斥B．乙与丙互斥C．甲与乙独立D．甲与乙对立
答案：BC
分析：结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.
首先抽取方法是有放回，每次摸出个球，共抽取次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共种情况.
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A错误.
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B正确.
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用表示事件甲，用表示事件乙，，则，所以甲与乙独立，C正确.
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.
故选：BC
10、甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（    ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是D．乙不输的概率是
答案：BCD
6
分析：由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.
“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；
故选：BCD
11、利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
答案：ABD
分析：依题意可得、、为互斥事件，即可判断B、C，再根据古典概型的概率公式得到、、，即可判断A，最后根据和事件的概率公式判断D；
解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误；
∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、，
则，∴A、D正确，
故选：ABD.
12、下列说法错误的是（    ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为
7
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为
C．若，为两个任意事件，则事件对立事件是事件，都发生
D．试验次数足够多，事件发生的频率其实就是事件发生的概率
答案：AD
分析：由题意得出基本事件的个数由古典概型求概率可判断AB，根据和事件、互斥事件、对立事件的概念判断C，由频率与概率的关系判断D.
对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为，故A错；
对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共有，6个基本事件，故由古典概型可知，故B正确；
对于C，和事件发生，就是，事件至少一个发生，它的对立事件就是，事件都不发生，即事件，都发生，故C正确；
对于D，试验次数足够多，事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，不一定是事件发生的概率，故D错误.
故选：AD
解答题
13、从长沙高铁南站到黄花机场共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从高铁站到机场的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
选择L1的人数
2
6
16
10
6
选择L2的人数
6
12
27
12
3
（1）试估计30分钟内能从高铁站赶到机场的概率；
（2）某医疗团队急需从高铁站去机场支援某地疫情防控，需在40分钟内到达机场，为了尽最大可能在允许时间内赶到机场．请你从用时的角度，通过计算说明他们该如何选择路径．
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答案：（1）；（2）选择路径L2.
分析：（1）直接从表格得到频数为26，再除以总数，即可得到答案；
（2）从表格计算走L1路线40分钟内到达的概率为，走L2路线40分钟内到达的概率为，比较概率大小，即可得到答案；
（1）由题意得：；
（2）选择L1：，
选择L2：
由于P1<P2，选择路径L2.
14、年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．
(1)求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．
答案：(1)；平均值为
9
(2)
分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可
（1）
由频率分布直方图，可得，
则①
，
所以，
则②
将①与②联立，解得．
所以平均值为．
（2）
根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[，）内，则
．
①“抽取3人中有2人在[，）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
 ．
②“抽取3人中有3人在[，）内”，由事件独立性定义，得
．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[，）内的概率：
10
．
15、科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，%，%，%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为．
(1)求n；
(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．
答案：(1)1；
(2).
分析：（1）求出随机选取1个氧元素是的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.
（2）对给定的，，进行编号，列举出选取2个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作答.
（1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是的概率，则有，解得n=1，所以n=1.
（2）记3个分别为a，b，c，2个分别为x，y，1个为m，从中随机选取2个，所有的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，它们等可能，其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有，，，，共4种，其概率为，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是.