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专题 28 函数的零点的问题
一、题型选讲
题型一 、 函数零点个数判断与证明
可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要
注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上
2 x,2 x 3
y f (x) log x
f (x) 则函数 的零点的个数为
x 4,3 x 4 5
【答案】： 5
【解析】：因为 f(x＋4)＝f(x)，可得 f(x)是周期为 4 的奇函数，先画出 数 f(x)在区间[2，4)上的图像，
函
根据奇函数和周期为 4，可以画出 f(x)在 R 上的图像，由 y＝f(x)－log | x|＝0，得 f(x)＝log | x|，分
5 5
别画出 y＝f(x)和 y＝log |x|的图像，如下图，由 f(5)＝f(1)＝1，而 log 5＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log |
5 5 5
－3|<1，而 f(－7)＝f(1)＝1，而 log |－7|＝log 7>1，可以得到两个图像有 5 个交点，所以零点的个数为
5 5
5.
x 1
f x ln x
变式 1、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 .
x 1
（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1） （1，+∞）．
1 2
因为 f '(x) 0 ，所以 f (x) 在（0，1），（1，+∞）单调递增．
x (x 1)2
e 1 e2 1 e2 3
因为 f（e）=1 0 ， f (e2 ) 2 0 ，所以 f（x）在（1，+∞）有唯一零点 x ，即
1
e 1 e2 1 e2 1
1 1 x 1 1
f（x ）=0．又 0 1， f ( ) ln x 1 f (x ) 0 ，故 f（x）在（0，1）有唯一零点 ．
1 x x 1 x 1 1 x
1 1 1 1
综上，f（x）有且仅有两个零点．
1 : .
变式 2、【2020 年高考浙江】已知1 a 2 ，函数 f x ex x a ，其中 e=…是自然对数的底数．（Ⅰ）
证明：函数 y f x在 (0,) 上有唯一零点；
【解析】（Ⅰ）因为 f (0) 1 a 0 ， f (2) e2 2 a e2 4 0 ，所以 y f (x) 在 (0,) 上存在零点．
因为 f (x) ex 1，所以当 x 0 时， f (x) 0 ，故函数 f (x) 在[0,) 上单调递增，
所以函数以 y f (x) 在 (0,) 上有唯一零点．
题型二、 函数零点问题中参数的范围
已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：
(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法 2 就是此法．它的本质就是
将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方
便地研究问题．
(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
x, x 0
例 2 、【 2019 年 高 考 浙 江 】 已 知 a,b R ， 函 数 f (x) 1 1 ． 若 函 数
x3 (a 1)x2 ax, x 0
3 2
y f (x) ax b 恰有 3 个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当 x＜0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得 x= ，
1
则 y＝f（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点；
1 1 1 1
当 x≥0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b= x3 （a+1）x2+ax﹣ax﹣b= x3 （a+1）x2﹣b，
3 2 3 2
y x2 (a 1)x ，当 a+1≤0，即 a≤﹣1 时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b 在[0，+∞）上单调递增，
则 y＝f（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点，不合题意；
当 a+1＞0，即 a>﹣1 时，令 y′＞0 得 x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令 y′＜0 得 x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.
根据题意，函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有 3 个零点⇔函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，
在[0，+∞）上有 2 个零点，
2 : .
如图：
＞0
∴ ＜0 且{ ，
1 1 ( + 1)3 1 ( + 1)( + 1)2 ＜0
3 2
1
解得 b＜0，1﹣a＞0，b＞ （a+1）3，则 a>–1，b<0.
6
故选 C．
变式 1、【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 f (x) ex ax2 ．若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
【解析】设函数 h(x) 1 ax2ex ．
f (x) 在 (0, ) 只有一个零点当且仅当h(x) 在 (0, ) 只有一个零点．
（i）当 a 0 时， h(x) 0 ， h(x) 没有零点；
（ii）当 a 0 时， h'(x) ax(x 2)ex ．
当 x (0,2) 时， h'(x) 0 ；当 x (2, ) 时， h'(x) 0 ．
所以 h(x) 在 (0, 2) 单调递减，在(2, ) 单调递增．
4a
故 h(2) 1 是 h(x) 在[0, ) 的最小值．
e2
e2
①若 h(2) 0 ，即 a ， h(x) 在 (0, ) 没有零点；
4
e2
②若 h(2) 0 ，即 a ， h(x) 在 (0, ) 只有一个零点；
4
e2
③若 h(2) 0 ，即 a ，由于 h(0) 1，所以 h(x) 在 (0, 2) 有一个零点，
4
16a3 16a3 16a3 1
由（1）知，当 x 0 时， ex x2 ，所以 h(4a) 1 1 1 1 0 ．
e4a (e2a )2 (2a)4 a
故 h(x) 在 (2,4 a) 有一个零点，因此h(x) 在 (0, ) 有两个零点．
3 : .
e2
a
f (x) (0, ) 4
综上， 在 只有一个零点时， ．
ex1, x 1,
f x g x f x x a
变式 2、(2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）函数 若函数