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解析几何定点、定值问题
y2 x2 1
1、已知椭圆 C： 1 a >b>0) 的离心率为 ，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半
a2 b2 2
径的圆与直线 x y 6 0 相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设 P（4，0），A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭
圆 C 于另一点 E，证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q；
2、斜率为 1 的直线 l 过抛物线 : y2 2 px( p 0) 的焦点 F，与抛物线交于两点 A，B。
（1）若|AB|=8，求抛物线 的方程；
（2）设 P 是抛物线 上异于 A，B 的任意一点，直线 PA，PB 分别交抛物线的准线于
M，N 两点，证明 M，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与 p 有关）。
3、在平面直角坐标系中，点 P(x, y) 为动点，已知点 A( 2,0) ，B( 2,0) ，直线 PA 与 PB
1
的斜率之积为 .
2
（I）求动点 P 轨迹 E 的方程;
（II）过点F(1,0) 的直线 l 交曲线 E 于 M , N 两点，设点N 关于 x 轴的对称点为Q ( M、Q
不重合)，求证：直线 MQ 过定点.
4、如图，曲线C 是以原点 O 为中心，F 、F 为焦点的椭圆的一部分，曲线 C 是以原点 O
1 1 2 2
3
为顶点，F 为焦点的抛物线的一部分， A( , 6) 是曲线
2 2
C 和 C 的交点.
1 2
(Ⅰ)求曲线 C 和 C 所在的椭圆和抛物线的方程；
1 2
(Ⅱ)过 F 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 C 、
2 1
C 依次交于 B、C、D、E 四点，若 G 为 CD 中点，H 为 BE
2
| BE | | GF |
中点，问 2 是否为定值，若是，求出定值；若
| CD | | HF |
2
不是，请说明理由.
: .
5、已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过 F 的直线交 y 轴正半轴于 P 点，交抛物
线于 A, B 两点，其中 A 在第二象限。
（1）求证：以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切；
（2）若 FA AP,BF FA ，求 的值.
1 2 2 1
6、已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的准线为 l ,焦点为 F .⊙M 的圆心在 x 轴的正半轴上,
且与 y 轴相切．过原点 O 作倾斜角为 的直线 ,交 l 于点 A , 交⊙ M 于另一点 B ,且
3
AO OB 2 .
（Ⅰ）求⊙M 和抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）过圆心 M 的直线交抛物线 C 于 P 、 Q 两点,求 OP OQ 的值。
2 5
7、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物
5
1
线 y x2的焦点，
4
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
MA AF , MB BF , 求证： 为定值．
1 2 1 2
x2 y2 1
8、（2012 枣庄一摸）已知椭圆 C ： 1(a b 0) 的离心率为 ，椭圆上一点到
1 2 2
a b 2
一个焦点的最大值为 3，圆 C : x2 y2 8x 2 3y 7 0 ，点 A 是椭圆上的顶点，点 P
2
是椭圆 C 上不与椭圆顶点重合的任意一点。
1
（1）求椭圆 C 的方程；
1
（2）若直线 AP 与圆 C 相切，求点 P 的坐标；
2
（3）若点 M 是椭圆 C 上不与椭圆顶点重合且异于点 P 的任意一点，点 M 关于 x 轴的
1
对称点是点 N，直线 MP，NP 分别交 x 轴于点 E(x ,0) ，点 F(x ,0) ，探究 x x 是否为
1 2 1 2
: .
定值。若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由。
x2 y2 2
9、己知椭圆 C ： 1(a>b>0) 旳离心率 e= ，左、.右焦点分别为 F、F ，点
a2 b2 1 2
2
P(2, 3) ，点 P 在线段 PF 的中垂线上.
1
(1) 求椭圆 C 的方程
；
(2) 设直线 l ： y=kx+m 与椭圆 C 交于 M , N 两点，直线 F M , F N 的倾斜角分别为
2 2
、 ，且 ，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标.
y2 x2
10、（2012 东营一摸）已知直线 l:y=x+ 6 ，圆 O : x2 +y2 =5 ，椭圆 E : 1(a>b>0)
a2 b2
3
的离心率 e= ，直线 l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
3
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜
率之积为定值.
x2 y2
11、已知椭圆 1a b 0的左、右焦点分别为 F ， F ， 点 M 0,2 是椭圆的
a2 b2 1 2
一个顶点， F MF 是等腰直角三角形．
1 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 M 分别作直线 MA ， MB 交椭圆于 A ， B 两点，设两直线的斜率分别为 k ，
1
1
k ，且 k k 8，证明：直线 AB 过定点（ , 2 ）．
2 1 2 2
y2 x2
12、直线 l 与椭圆 1(a b 0) 交于 A(x , y ) ，B(x , y ) 两点，已知 m (ax ,by ) ，
a2 b2 1 1 2 2 1 1
3 3
n (ax ,by ) ，若m n 且椭圆的离心率 e ，又椭圆经过点 ( ,1) ，O 为坐标原点.
2 2 2 2
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c) （ c 为半焦距），求直线 l 的斜率 k 的值；
（3）试问： AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理
由.
13、已知抛物线 y2 =4 x 的焦点为 F ，直线 l 过点 M (4,0) .
（1）若点 F 到直线 l 的距离为 3 ，求直线 l 的斜率.
: .
（2）设 A、B 为抛物线上两点，且 AB 不与 x 轴垂直，若线段 AB 的垂直平分线恰过
点 M ，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值.
6
14、已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y2 4 5x 的焦点，离心率是 。
3
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过点 C（—1，0），斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点，请问 x 轴上是否存在点 M，
使 MA MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。