浙江省五校联盟2023～2024学年高三数学下学期3月联考试题[含答案].pdf

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浙江省五校联盟 2023-2024 学年高三数学下学期 3 月联考试卷
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 ，只有一项
符合题目要求.
1. 若全集 U ，集合A,B 及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（）
U A B U A B U A B
A. B. C. D.
A∩UB
【答案】C
【解析】
【分析】图中阴影表示的集合的元素属于集合 B，但是不属于集合 A，即可得出．
U A B
【详解】图中阴影表示的集合的元素属于集合 B，但是不属于集合 A，即为 .
故选：C
       
2. 已知向量 a  (1,2)，向量b 满足|b | 2，若a  b，则向量a b与a 的夹角的余弦值
为（）
2 5 5 5 5
A. 5 B. 4 C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】
   
a ba  5 | a | 5
【分析】由数量积运算律、模的坐标公式得 、，进一步求得
    2
| a b | (a b)
的值，结合向量夹角公式即可求解.
      
a b a  a2  ab  50  5
| a | 5  
【详解】由题意，得 ，且，
    2 2   2
| a b| (a b)  a  2ab b  5 0  4  3
， : .
  
(a b)a 5 5
   cos      
设向量a b与a 的夹角为 ，则| a b|| a | 3 5 3 .
故选：C.
3. 设 b，c 表示两条直线，, 表示两个平面，则下列说法中正确的是（）
A. 若 b / /,c   ，则b / /c B. 若 b / /c,b   ，则c / /
C. 若   ,c / / ，则c   D. 若 c / /,c   ，则  
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行，垂直的相关性质定理逐一判断即可.
【详解】对于 A：若 b / /,c   ，除非说明b,c共面，否则不能推出b / /c ，A 错误，
对于 B：若 b / /c,b   ，没有说明c  ，不能推出c / / ，B 错误；
对于 C：若   ,c / / ，则c   ，c / / ，c   都有可能，C 错误；
对于 D：如图，过直线 c作一个平面与 交于直线b ，由线面平行的性质定理可得c / /b ，
又c   ，所以b   ，又b   ，得   ，D 正确.
故选：D.
 P3,2cos  cos 
4. 已知角 的终边过点，则（）
3 3 3 1
  
A2 B. 2 C. 2 D. 2
.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得出cos  0 ，利用三角函数的定义可得出关于cos 的方程，解之即
Warning : .
3
cos   0
9  4cos2
【详解】由三角函数的定义可得 ，
4cos2 9 cos2  9 4 2
  4cos  9cos  9  0
整理可得，即，
2 3 3
2 2 cos   cos  
4cos  3cos  3 0 4 2
即，可得，故.
故选：B.
an q n Sn q = 2 Sn  a1
5. 设等比数列 的公比为，前项和为，则“ ”是“ 为等比数列”
的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
Sn  a1 q
【分析】应用等比中项的性质，由 为等比数列，解出值，即可判断.
2
Sn  a1 S2  a1  S1  a1S3  a1
【详解】依题，“ 为等比数列” ，所以 ，
2 2 2
2a1  a2   2a1 2a1  a2  a3 (2 q)  22 q  q 
得，化简得，
q = 2 q = 2 Sn  a1
解得，则“ ”是“ 为等比数列”的充要条件.
故选：C
6. 已知实数 x，y 满足 x  3，且xy  2x  3y 12，则x  y 的最小值为（）
A. 1  2 6 B. 8C. 6 2 D.
1 2 3
【答案】A
【解析】
12 2x 6 6
y   2 x  y  x 3 1
【分析】由题意得x 3 x 3 ，进一步表示出x 3 ，
结合基本不等式即可求解.
12 2x 6
y   2
【详解】因为 x  3，且xy  2x  3y 12，所以x 3 x 3 ， : .
6 6
x  y  x  2  x 3 1 2 6 1
从而 x 3 x 3 ，等号成立当且仅当
x  6 3, y  6  2
，
所以x  y 的最小值为1  2 6 .
故选：A.
2 2
x y
2  2 1
C a b a  0 b  0 F1 F2
7. 已知双曲线 ：（，）的左右焦点分别为、、A 为双曲线
2
PAQ 
F1F2 P Q 3
的左顶点，以 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，
则该双曲线的离心率为（）
21
A. 2 B. 3 C. 3 D. 13
【答案】C
【解析】
F F x2  y2  c2
【分析】先由题意，得到以1 2 为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近
b
y  x P x , y  Q x ,y AP
a 0 0  0 0
线为，设，则，求出点P，Q 的坐标，得出 ，
2
AQ PAQ 
，根据3 ，再利用余弦定理求出a ，c之间的关系，即可得出双曲线的离
心率．
F F x2  y2  c2
【详解】由题意，以1 2 为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为
b
y  x
a ．
P x0, y0 Qx0,y0
设，则， : .
 b
 y  x
 a x  a x  a
 2 2 2  
x  y  c y  b y  b
由 ，解得或，
Pa,b Qa,b
∴，．
A Aa,0
又为双曲线的左顶点，则，
2 2 2 2
AP  a  a b AQ  a a b  b
∴，，
2 2
PQ  a  a b b  2c
，
2 2 2 2 2
PAQ  PQ  AP  AQ  2 AP AQ cos 
在△PAQ 中，3 ，由余弦定理得3 ，
2 2 2 2 2 2
4c  (a  a) b b  (a  a) b b
即，
4c2  4a2  2b2  4a2 b2 b
即，
2 2 4b2  4a2 b2 2 2
2b  4a b   3b  4a
则，所以，则，
2 7 2
2 2 2 c  a
3c  a  4a 3
即，所以
c 21