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大学物理练习册解答
第八章 真空中静电场
1、三个电量为–q的点电荷各放在边长为 r 的等边三角形的三个顶点上。电荷 Q (Q>0 )
放在三角形的重心上，为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？
解：利用矢量合成可得
Qq q2
= ° ×2 30 cos
3 πε r 4 2
πε ( 4 ) r 2 0
0 3
3
所以 Q = q
3
Q
2、线电荷密度为λ 的无限长均匀带电线，分别弯成
∞ E1（B∞）
如图 (a) 和 (b) 所示的两种形状，若圆半径为 R，
E2
试求(a) 、(b) 图中 O 点的场强。
A α
解：图（ a）由两根半无限长带电直线和一段圆弧组 O
成，方向如图所示。根据矢量合成 R
r r r r r E3（A∞）
=++=E E E E E 2 3 2 1 O
B ∞
（a）
2λ A
E E 2 O == ∞
πε0R 4 E1（B∞）
E2
Ey
tg ==α1 α= 45° 即与水平成 45°
Ex E3（A∞）
B ∞
图（b）由两根半无限长带电直线和一段半圆弧
组成，方向如图所示。根据矢量合成 （b）
0 λ λ
Ox 2 −= 1 45 cos E 2 E E = 2×− = 0
πε0R 2 πε0R 4
= 0 − 0 = 0 45 sin E 45 sin E E
Oy 1 3
O = 0 E
1 : .
大学物理练习册解答
3、有一细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其上半部均 +
匀分布有电荷+Q，下半部均匀分布有电荷− Q，如图所 +
+
示．求半圆中心Ｏ处的场强。 R
+
解：由于对称性，dE dE 在x方向上的分量抵 θ
+、 − +
消 = 0 E O
x −
Q 2
= λ = λRd dl dq θ （ =λ ） −
πR −
−
λ Rdθ dθλ
dE = 2 =
4πε0 R πε0R 4
λ
y cos dE dE =θ= d cos θθ
πε0R 4
π λ dθ Q
y ∫∫=θ=2 cos dE 2 E 02 cos =θ 2 2
4πε0 R 0πεR
方向沿− y 方向
4、一无限大的均匀带电平板，电荷密度为σ ，在平板上挖去一个半径为Ｒ的圆孔，求通
过圆孔中心并垂直于板的轴上一点Ｐ的场强。
解：取圆环元半径为ρ， d 2 dq ρπρσ=
则圆环元在轴线上产生 dE 公式
O P
1 xdq
R x x dEp = 3
4πε0 +ρ 2 2 ) x ( 2
∞ ∞ d x 2 ρρπσ
p = ∫RdE E p = ∫ 3
R 2 2 2
0 +ρπε) x ( 4
σx
= 1
+ε 2 2 ) x R ( 2 2
0
方向沿 x 轴方向
2 : .
大学物理练习册解答
5、如图所示，在点电荷ｑ的电场中，取半径为Ｒ的平面， r
ｑ在该平面的轴线上的Ａ点处．求通过此圆平面的电通 R
量。 α A
O
解法一：以 A 为中心，r为半径作一球面，则通过圆平 q
面的电通量与通过以圆平面为底的球冠电通量相等。
2 q
设球面积 0 π=r 4 S ， 通量 0 =Φ
ε0
球冠面积 = π − α) cos r r ( r 2 S 通量 Φ
Φ S 2 α−π) cos 1 ( r 2 cos 1 α−
== 2 =
Φ S0 0 πr 4 2
cos 1 α− α−) cos 1 ( q
Φ=Φ∴0( ) =
2 ε0 2 x
解法二： ϕ
v r R q
∫ =⋅=Φ∫∫ds cos E s d E =ϕ0 2 2 πϕxdx 2 cos
0 +πε ) h x ( 4
R q 1 h h
= ∫0 2 1 2 2 2 2 πxdx 2
4 0 ) h x ( ++πε) h x (
q h q
= 1 [ − 2 1 2 2 ] = α−) cos 1 (
2ε0 + ) h R ( 2ε0
6、一半径为 R 的无限长直圆柱体，均匀带电，电荷体密度ρ > 0，求电场场强分布；并
用 E − r 图表示场强随距离的分布情况。
v r ∑q
解：在圆柱体内外取图示高斯面，由高斯定理∫ S d E =⋅
ε0
v r ρπ 2h R
r > R ∫ S d E =⋅ rh 2 E =π
ε0
ρR2
E =
ε0r 2
v r ρπ 2h r
r < R ∫ ⋅ S d E rh 2 E =π=