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心中有“数”——
数学运算进阶指南 : .
目录
第一篇：工程问题秒杀技巧 ................................ 1
考点 ........................................................... 1
综合提升 ....................................................... 4
第二篇：行程问题秒杀技巧 ................................ 7
考点 ........................................................... 7
综合提升 ...................................................... 10
第三篇：概率问题秒杀技巧 ............................... 14
考点 .......................................................... 14
综合提升 ...................................................... 17
第四篇：经济利润问题秒杀技巧 ........................... 21
考点 .......................................................... 21
综合提升 ...................................................... 24
第五篇：几何问题秒杀技巧 ............................... 27
考点 .......................................................... 27
综合提升 ...................................................... 32
第六篇：浓度问题秒杀技巧 ............................... 36
考点 .......................................................... 36
综合提升 ...................................................... 38
第七篇：排列组合问题秒杀技巧 ........................... 41
考点 .......................................................... 41
综合提升 ...................................................... 44
第八篇：容斥问题秒杀技巧 ............................... 47
考点 .......................................................... 47 : .
综合提升 ...................................................... 49
第九篇：最值问题秒杀技巧 ............................... 53
考点 .......................................................... 53
综合提升 ...................................................... 55
第十篇：年龄问题秒杀技巧 ............................... 59
考点 .......................................................... 59
综合提升 ...................................................... 61
第十一篇：和差倍比问题秒杀技巧 ......................... 63
考点 .......................................................... 63
综合提升 ...................................................... 66
第十二篇：钟表问题秒杀技巧 ............................. 69
考点 .......................................................... 69
综合提升 ...................................................... 71 : .
第一篇：工程问题秒杀技巧
工程问题就是一类研究工作总量、工作时间、工作效率之间关系的数学问题。只要掌握这三
个量的基本关系(工作总量=工作效率×工作时间)就可以帮助我们解决多数的工程问题。
考点
基本公式：
工作总量=工作效率×工作时间
合作效率=多个人的效率之和
合作总量=合作效率×工作时间
牛吃草问题：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷
（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例题在线
1、甲、乙、丙三个工程队接到 A、B 两个工程的施工任务，若由甲单独完成 B 工程需要 30 天；
若甲乙两队合作施工，则完成 A 工程需要 30 天，完成 B 工程需要 20 天；乙丙合作完成 A 工程则
需要 24 天。现在三个工程队合作完成 A、B 两个工程，多少天可以完工？（不足 1 天按 1 天计算）
A、24
B、25
C、26
D、27
正确答案：D 正确率：% 易错项：B
60 60
赋值 B 工程总量为 30、20 的最小公倍数 60，则甲的效率为 = 2，甲乙的效率和为 = 3，
30 20
可知乙的效率为 3-2=1。由“若甲乙两队合作施工，则完成 A 工程需要 30 天”，可知 A 工程总量
90
为 30×3=90，由“乙丙合作完成 A 工程则需要 24 天”，可得乙丙的效率和为 = ，则丙的
24
工程总量 90+60 150 +
效率为 -1=。故所求时间= = = = ，需 27 天。
总效率 2+1+
1 : .
2、某单位办事大厅有 3 个相同的办事窗口，2 天最多可以办理 600 笔业务，每个窗口办理单
笔业务的用时均相同。现对该办事大厅进行流程优化，增设 2 个与以前相同的办事窗口，且每个
2
办事窗口办理每笔业务的用时缩短到以前的 。问优化后的办事大厅办理 6000 笔业务最少需要多
3
少天？
A、8
B、10
C、12
D、15
正确答案：A 正确率：% 易错项：B
600
根据“每个窗口办理单笔业务的用时均相同”，则 1 个窗口 1 天可办理业务 = 100 笔，
3×2
2
根据题意，增设 2 个窗口，且每个办事窗口办理每笔业务的用时缩短到以前的 ，同一项业务，办
3
3
理时间和办理效率成反比，则每笔业务办理的效率是原来的 ，即优化后 1 个窗口 1 天可办理业务
2
3
100 × = 150 笔。设优化后 6000 笔业务最少需要 t 天办理完成，则有 6000=150×（3+2）×t，
2
解得 t=8，即最少需要 8 天。
3、甲、乙两条生产线每小时分别可以生产 15000 件和 9000 件某种零件，产品合格率分别为
99%和 %。现接到 36 万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低于 %，则两条生产线合
作，至少需要多少小时完成?
A、15
B、18
C、24
D、25
正确答案：D 正确率：% 易错项：B
由题干可知，需要生产的合格产品至少为 36 万×%= 万件。设甲、乙工作量分别为
x 万件、（36−x）万件，则有 x × 99% + (36 − x) × % = ，解得 x=，36−x=。
万
甲完成任务时间= = 9 小时，乙完成任务时间= = 25 小时，综上所述，至少需要 25
15000 件 9000 件
小时完成。
4、甲、乙、丙三个物流公司合作完成两个仓库 K 和 L 的货物搬运任务。已知两个仓库的工作
2 : .
量相同，他们先在 K 工作 2 小时，完成了 K 工作量的 75%；然后乙、丙先去 L 工作，甲留在 K 继
续工作，并用 3 小时完成了 K 的剩余工作量后再去 L 工作，直至任务全部完成。甲在 L 工作的总
时间为：
A、20 分钟
B、30 分钟
C、40 分钟
D、50 分钟
正确答案：A 正确率：% 易错项：B
1×3
甲用 3 小时完成 K 工作总量的 1-75%=25%，赋值甲的工作效率为 1，则 K 的工作总量为25%=12，
L 的工作总量也为 12。甲、乙、丙合作 2 小时完成 K 的工作量为 12×75%=9，则甲、乙、丙的工
9
作效率之和为 = ，乙、丙的工作效率之和为 -1=。乙、丙在 L 工作 3 小时完成的工作
2
1
量为 ×3=，L 剩余的工作量为 12-=。因此甲在 L 工作的总时间为 = 小时，即 20
3
分钟。
5、一个工程的实施有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、丙的效率比为 5：4：
3，如果由丁单独实施，比由甲单独实施用时长 4 天，比由乙单独实施用时短 5 天。问四个队共同
实施，多少天可以完成（不足 1 天的部分算 1 天）？
A、10
B、11
C、12
D、13
正确答案：B 正确率：% 易错项：C
根据题意，赋值甲、乙、丙的效率分别为 5、4、3；设工程总量为 60x，根据“时间=工程总
量÷效率”，则甲、乙单独实施该工程的天数分别为 12x、15x。单独实施该工程，丁比甲多 4 天，
比乙少 5 天，则乙用时比甲多 5+4=9 天，即 15x-12x=9，解得 x=3，则工程总量为 60×3=180，丁
单独实施该工程的时间为 12x+4=40 天，则丁的效率为 180÷40=。四个队共同实施，需要
180÷（5+4+3+）≈ 天，不足 1 天的部分算 1 天，即共需 11 天。
技巧点拨
①赋值法：赋值总工程量为某些量的最小公倍数
3 : .
②已知效率比，设效率比为工作效率。例如甲、乙的效率比 2：3，可设甲和乙的工作效率分
别为 2 和 3
③“多台机器”“多个人”的情况，将每台机器或每个人的效率赋值为 1。
综合提升
1、师徒二人用 15 天合作生产 1000 个零件，前 5 天师傅的效率是徒弟的 2 倍，中间 5 天师傅
休息，徒弟每天比原来多生产 5 个零件，最后 5 天两人又一起工作，师傅的效率不变，徒弟的效
率比中间 5 天提高了 50%，徒弟这 15 天生产的零件个数是：
A、450
B、500
C、550
D、600
正确答案：B。
设徒弟前 5 天每天的效率为 x 个，则师傅前 5 天每天的效率为 2x 个，中间 5 天徒弟每天的效
率为（x+5）个，最后 5 天徒弟每天的效率为 ×（5+x）个，根据师徒二人用 15 天合作生产
1000 个零件，可列式为（2x+x）×5+（x+5）×5+[×（5+x）+2x]×5=1000，解得 x=25，则徒
弟 15 天生产的零件个数为 5×25+5×（5+25）+5××（5+25）=500 个。
2、甲、乙两人对 100 个家庭进行电话调查。若甲、乙完成对 1 个家庭的调查需要的时间分别
是 12 分钟和 20 分钟，则他们完成这次电话调查需要的时间至少是：
A、12 小时 28 分钟
B、12 小时 32 分钟
C、12 小时 36 分钟
D、12 小时 40 分钟
正确答案：C。
甲、乙完成对 1 个家庭的调查需要的时间分别是 12 分钟和 20 分钟，因此每小时（60 分钟）
100
甲调查 5 个家庭，乙调查 3 个家庭，合计调查 5+3=8 个家庭。 = 12 小时……4 个家庭，剩余 4
8
个家庭由甲调查 3 个，乙调查 1 个，用时是最少的，需要 36 分钟。因此两人合计用时最少为 12
小时 36 分钟，对应 C 项。
3、7 名防疫人员负责甲、乙两个社区的居民排查工作，已知每人走访一户居民的用时为固定
4 : .
值，若 5 人负责甲社区、2 人负责乙社区，则完成乙社区排查的时间比甲社区要晚 5 天；若 3 人
负责甲社区、4 人负责乙社区，则乙社区完成排查后，只需 6 人共同工作 4 天就能完成甲社区的
排查。那么如果要在 6 天内完成两个社区的排查工作，至少需要额外增加多少人？