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采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而
达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常
遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为
一个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问
题的求解,达到解决原问题的目的.
:是实现问题的规范化、模式化以便
应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其
“转化”的过
程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.
学案4 转化与化归思想
、层次性和重复性的特点,为了实
施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问
题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问
题的外部形式,
沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间
的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种
具体问题,
使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用
的重复性.
问题
规范问题
原问题的解答
解答
问题
转化
已知理论、方法、技巧
问题
还原
=sin4x+cos2x的最小正周期是 （ ）
A. B. C. D.
解析
B
在直角坐标系中,O是坐标原点,
动点P在直线x=3上运
动,若从动点P向Q点的轨迹引切线,则所引切线长的
最小值为 （ ）
C. D.
解析 点Q的轨迹是以(-2,-2)为圆心,半径为1的圆,
要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x=3的距
离最短即可.
C
设椭圆 (a＞b＞0)的半焦距为c,直线l过
（0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于 ,则椭
圆的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
解析 直线方程为l:ax+by-ab=0,
所以 ，
变形为12e4-31e2+7=0,再解出 .
B
01
02
,A(1,1),若B(x,y)满足
，则 取最小值时,
点B的个数 （ ）
解析 点B（x,y）满足
画出可行域如图阴影部分,又A(1,1),
B(x,y),令 =x+y=t，则由t得
几何意义可知，当过圆中B1、B2两点
时，t的值最小，此时tmin=3,所以
取最小值时,点B的个数为2.
B
题型一 等与不等的转化与化归
【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取
值范围.
解 方法一（看成函数的值域）
∵ab=a+b+3，
∴
即a＞1或a＜-3,又a＞0,
∴a＞1,故a-1＞0.
当且仅当 ,即a=3时取等号.
又a＞3时， 是关于a的单调增函数.
01
∴ab的取值范围是［9，+∞）.
02
方法二（看成不等式的解集）
03
∵a，b为正数，
04
∴ab≥9.
05
【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取
06
值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类
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问题，或者利用基本不等式解答这类问题.
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变式训练1 已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m
01
02
03
04
(m是正常数)，求b的取值范围.
解 方法一 设三个实数为
由a+b+c=m,得
STEP 03
STEP 04
STEP 01
STEP 02
方法二 因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,
又a+b+c=m,所以
则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根,
所以Δ=［-(m-b)］2-4b2≥0,