2025届广州高三二模数学试卷及答案.pdf

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秘密 ★ 启用前 试卷类型：B
2025 届广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学
本试卷共 5 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能
答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答
案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
A  0,1,2,3 x 2x  7 A B
1. 设集合  ， B   ，则 的元素个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
2. 已知复数 z 满足 z 2i 1，则 z 的最小值为
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
 I  2
3. 声强级 LI （单位：dB）由公式 LI 10lg 12  给出，其中 I 为声强（单位：W/m ）.
10 
轻柔音乐的声强一般在108 ～106 W/m 2 之间，则轻柔音乐的声强级范围是
A. 0 ～20 dB B. 20 ～40 dB C. 40 ～60 dB D. 60 ～80dB
 1  4 2
4.  x  (1 2x) 的展开式中 x 的系数为
 x 
A．24 B．24 C．36 D．40
   cos
5. 已知 0, ， tan2  ，则 tan 
 2  1sin2
1 1
A. B. C. 2 D. 3
3 2
1 : .
 ex,　x  0,

6. 已知函数 f (x)   a 若函数 g(x)  f (x)  a 恰有2 个零点，则实数a 的取值
x  ,x  0,
 x
范围是
A．,0 B．0,1 C．0,4 D．4,
2 2
x y
7. 已知椭圆C : 2  2 1a  b  0的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线与C 相
a b
交于 A， B 两点，且 AF1  AB ， BF1  a ，则C 的离心率为
1 1 6 3
A. B. C. D.
6 3 6 3
3
8. 已知函数 f x sin x  sin2x  2x 1在2,2上的所有极值点从小到大依次
2
n
记为 x1， x2，…， xn，则  f xi  
i1
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 一组成对样本数据(x , y ),(x , y ), ,(x , y ) (n 10,nN)的散点位于一条直线附近，
1 1 2 2 n n
n
(xi  x)(yi  y)
1 n 1 n
它的样本相关系数 r  i1 （其中 x  x ， y   y ），由
n n i i
2 2 n i1 n i1
(xi  x) (yi  y)
i1 i1
n
(xi  x)(yi  y)
最小二乘法求得经验回归方程 yˆ  bˆx  aˆ （其中bˆ  i1 ），则
n
(x  x)2
 i
i1
A. 若r  0 ，则bˆ  0
B. 若 zi  yi  2(i 1,2, ,n) ，则成对数据(xi,zi) 的样本相关系数r1等于r
C. 若 zi  2yi(i 1,2, ,n)，则成对数据(xi,zi) 的样本相关系数r2 大于r
D. 若 z  2y (i 1,2, ,n)，则成对数据(x ,z ) 的经验回归方程 zˆ  2bˆx  2aˆ
i i i i
2 : .
10．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这
条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 若△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A 3,4，
1,2 ， 1,0 ，其“欧拉线”为 ，圆 2 2 ，则
B   C   l M : (x a)  y 1
A．过 A作圆 M 的切线，切点为 P ，则 AP 的最小值为4
B．若直线l 被圆 M 截得的弦长为2 ，则a  1
C．若圆M 上有且只有两个点到l 的距离都为1，则1 2 2  a  1 2 2
D．存在a ，使圆 M 上有三个点到l 的距离都为1
11. 已知 A， B 是球O的球面上两点，C 为该球面上的动点，球O的半径为4 ，
OAOB  0 ，二面角O AB C 的大小为120 ，则
A. △ ABC 是钝角三角形
B. 直线OC 与平面 ABC 所成角为定值
C. 三棱锥O  ABC 的体积的最大值为8 2
128
D. 三棱锥O  ABC 的外接球的表面积为 
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若函数 f x  loga x m (a  0 ，且a 1)是偶函数，且 f 2 2，则a  .
13. 一个袋子里有大小和质地相同的4 个球，标号为1，2 ，3，4 ，从中有放回地随机取
球，每次取1个球，共取4 次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个
不同整数的概率为 .
14. 在平面四边形 ABCD 中，AC  AD  4，CAD  60 ，ABC  90 ，若△ ABD 的
面积是△ BCD的面积的2 倍，则 BD的长度为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13 分）
设 Sn 为数列an的前n 项和，且an 是 Sn 和8的等差中项.
（1）求数列an的通项公式；
 1  1 1
（2）令bn  log2 an ，数列 的前n 项和为Tn ，证明：  Tn  .
bnbn1 12 3
3 : .
16. （15 分）
如图，直四棱柱 ABCD  A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，BAD 为锐角， E ， F 分
别为棱 A1D1，CD的中点，点M 在棱C1D1 上，且C1M  3MD1，AA1  AB  4，点 P 在
直线 EM 上.
（1）证明: EM ∥平面 AB1F ；
（2）若直四棱柱 ABCD  A1B1C1D1的体积为32 3 ，
当直线 FP 与平面 AB1F 所成角的正弦值最大时，
求MP 的长.
17. （15 分）
2x
已知函数 f x  e ， gx  ax （aR ，且a  0）.
（1）若a  0 ，直线l : y  2x  m 与曲线 y  f x和曲线 y  g x都相切，求a 的值；
（2）若 f x g x，求a 的取值范围.
18. （17 分）
x2 y2
已知双曲线C : 2  2 1 (a  0,b  0) 的右焦点 F(2,0)到C 的一条渐近线的距离
a b
为 3 .
（1）求C 的方程；
2 2 3
（2）设点 P 在C 的右支上，过点 P 作圆O : x  y  的两条切线，一条与C 的左支交
2
于点 M ，另一条与C 的右支交于点 N （异于点 P ）.
（ⅰ）证明：OM  OP ；
（ⅱ）当△ PMN 的面积最小时，求直线 PM 和直线 PN 的方程.
4 : .
19. （17 分）
* P  x | x  x ,x ,x ,L ,x ,x  0,1 ,1 i  n,i N* (x
设nN ，n  4 ，集合 n   1 2 3 n  i    为
n
向量），若a = a1,a2,a3,L ,anPn ，b = b1,b2,b3,L ,bnPn ，定义ab = aibi.
i1
（1）若a ，b ，c P4 ，且a  0,1,1,1，b  1,1,0,1， ac = bc  2，写出所有的c ；
（2）若a ，b  Pn，且a = 1,1,1,L ,1，设满足ab = m 的b 的个数为 f m，
n1 m
求 1 f m的值；
m0
（3）从集合 Pn 中任取两个不同的向量a ，b ，记ab  X ，求 X 的分布列与数学期望.
5 : .
2025 届广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继