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用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输
运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、
贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标
第十三章 幂级数解法 本征值问题
系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出
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微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常
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现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常
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，我们讨论复变函数
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的线性二阶常微分方程
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（）
为复变数，
02
其中
为选定的点，
为复常数．
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，
但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任
的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，
代入方程以逐个确定系数．
01
意点
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，
尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的
求解问题中．
方程的常点和奇点概念
求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题．
可借助于解析函数的理论进行讨论．
如果方程（）的系数函数
和
在选定的点
的邻域
中是解析的，则点
方程（）的常点.
如果选定的点
是
或
的奇点，则点
叫作方程（）的奇点．
叫作
定义 常点 奇点
若方程（）的系数
关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有
下面的定理．
和
为点
的邻域
中的解析函数，
则方程在这圆中存在唯一的解析解
满足
初始条件
，其中
是任意给定的复常数．
2. 常点邻域上的幂级数解定理
既然线性二阶常微分方程在常点
故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.
的邻域
上存在唯一的解析解，
（）
其中
为待定系数
为了确定级数解（）中的系数，具体的做法是以
（）代入方程（），合并同幂项，令合并后的系数
1
分别为零，找出系数
2
之间的递推关系，
3
最后用已给的初值
4
来确定各个系数
5
从而求得确定的级数解．
6
下面以
7
阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．
8
注明：
1．2常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解
推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论.
由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在
邻域上求解
阶勒让德方程
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即为
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，单值函数
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故方程的系数
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均为有限值，它们必然在
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在
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解析．