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平面向量的数量积及运算律
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问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
θ
平面向量的数量积的定义
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0．
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
（2） a · b不能写成 a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量
叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，
即
例题讲解
解：
例1．已知| |=5，| |=4， 与 的夹角 ，求 .
01
02
03
04
例题讲解
A
，求（1）
（3）
C
05
B
例题讲解
，求（1）
（2） （3）
A
C
B
向量的数量积的几何意义
（1）投影的概念
如图所示：
B
过B作 垂直OA，垂足
为 ,
则 ，
在 方向上的投影
叫做向量
O
A
叫做向量
在 方向上的投影
B
O
A
a
b
投影是向量
还是数量？
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
O
A
B
a
b
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
O
A
B
a
b
θ为直角时，
| b | cosθ=0
向量的数量积的几何意义
（2）数量积的几何意义
数量积 等于 的长度
的几何意义是 与 在 方向上的投影 的乘积
例3、 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 。
讨论总结性质：
（4）
(判断两向量垂直的依据)
设 与 都是非零向量， 为 与 的夹角
(2)当 与 同向时，
当 与 反向时，
（3） 或
（5）
你能得出哪些结论？
小组快速讨论一下！
平面向量的数量积的运算律
已知向量 ， ， 和实数 ，则
（1） 。
（交换律）
（2） = 。
（3） 。
（与数乘的结合律）
（分配律）