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平面的一般方程
01
第七章
02
两平面的夹角
03
平面的点法式方程
平面及其方程
04
第五节
①
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
称①式为平面的点法式方程,
求该平面的方程.
法向量.
量
故
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请言简意赅的阐述您的观点。
01
请言简意赅的阐述您的观点。
02
则有
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即
01
的平面 的方程.
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解: 取该平面 的法向量为
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利用点法式得平面 的方程
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一般情况 :
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的平面方程为
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过三点
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说明:
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此平面的三点式方程也可写成
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
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此式称为平面的截距式方程.
时,
平面方程为
分析:利用三点式
按第一行展开得
即
二、平面的一般方程
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设有三元一次方程
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以上两式相减 , 得平面的点法式方程
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此方程称为平面的一般
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任取一组满足上述方程的数
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则
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显然方程②与此点法式方程等价,
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的平面,
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因此方程②的图形是
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法向量为
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方程.
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特殊情形
• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示
通过原点的平面;
• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D =0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xoy 面 的平面;
平行于 yoz 面 的平面；
平行于 zox 面 的平面.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
.
解:
因平面通过 x 轴 ,
设所求平面方程为
代入已知点
得
化简,得所求平面方程
(P327 例4 , 自己练面的夹角
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设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
特别有下列结论：
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