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四点共面证明题 20 道
一、解答题
1．（23-24 高二上·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱ABCDABCD 1111 中， ABCD ，
ABAD ， AAABADCD1 224 ，E，F，G 分别为棱 DD1， AD11 ，BB1的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求CGEF 的值；
(2)证明：C，E，F，G 四点共面.
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2．（2024 高二·全国·专题练习）已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，
BC，CD，DA 的中点，求证：
(1)E，F，G，H 四点共面；
(2) BD// 平面 EFGH.
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3．（2024 高一下·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体 ABCD中，E 、F 分别是 AB 、
1 1
AD 的中点，G 、H 分别是 BC、CD 上的点，且CGBC ，CHDC .求证：E 、F 、
3 3
G 、 H 四点共面；
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4．（23-24 高二上·云南大理·期中）如图，在长方体ABCDABCD 1111 中，点 EF, 分别在
棱 DDBB11, 上，且2,2DEEDBFFB 1 1 .
(1)证明： AEFC,,, 1四点共面；
(2)若ABADAAAD2,3 1 ，求二面角 AEFA 1的正弦值.
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5．（23-24 高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥 PABCD 中，E，F 分别为 PAPC, 的
中点， DGGP 2 ．
(1)证明：B，E，G，F 四点共面．
V1
(2)记四棱锥PBEGF 的体积为V1，四棱锥 PABCD 的体积为V2，求 的值．
V2
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6．（23-24 高三上·河南·阶段练习）如图，在长方体ABCDABCD 1111 中，点 EF, 分别在
棱 AACC11, 上，且 AEEA 2 1，2CFFC 1.
(1)求证：BEDF,,, 1 四点共面；
(2)若ABADAA2,2,3 1 ，求平面 DEF 与平面 BDF 夹角的正弦值.
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7．（23-24 高二上·安徽合肥·期中）如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形， PA 平
1
面 ABCDABPAPMMB,2,3,2 ， PNNDPHPA , .
4
(1)证明：CMHN,,, 四点共面；
(2)求点 P 到平面MNC 的距离.
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8．（2024·四川成都·一模）已知，图中直棱柱ABCDABCD 1111 的底面是菱形，其中
AAACBD1 24 .又点 EFPQ,,, 分别在棱 AABBCCDD1111,,, 上运动，且满足：
BFDQ ，CPBFDQAE 1.
(1)求证： EFPQ,,, 四点共面，并证明 EF// 平面 PQB；
BPQE 15
(2)是否存在点P 使得二面角 的余弦值为 ？如果存在，求出CP 的长；如
5
果不存在，请说明理由.
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9．（23-24 高二上·重庆黔江·阶段练习）在正四棱柱 ABCDABCD 1111 中，M 为 AA1的中
点， AB 2.
(1)点N 满足2NDDD11 ，求证：MBCN､ ､ 1､ 四点共面；
(2)若AA1 3，求直线CD 与平面MBC1所成角的正弦值.
试卷第 9页，共 20页
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10．（2021·江苏南京·模拟预测）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而
， FABABAF90,2 ，点G 为弧CD 的中点，且CGDE,,, 四点共面.
(1)证明： DGBF,,, 四点共面；
21
(2)若平面BDF 与平面 ABG夹角的余弦值为 ，求 AD 长.
6
试卷第 10页，共 20页
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11．（23-24 高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在长方体ABCDABCD 1111 中，点 E 、 F 分
别在棱 AA1，CC1上，且 AEEA 2 1，2CFFC 1.
(1)求证：B ，E ， D1，F 四点共面；
(2)若AB 2 ， AD 2， AA1 3，求平面 DEF 与平面 BDF 夹角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求点 B 到平面 DEF 的距离.
试卷第 11页，共 20页
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12．（23-24 高二上·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是
菱形，对角线 AC ，BD交于点O，OA 4，OB3，OP 4 ，OP 底面 ABCD， E ，
F 分别为侧棱 PB， PD的中点，点 M 在CP 上且CMMP 2 .
(1)求证：A ， E ，M ， F 四点共面；
(2)求直线PA 与平面 BDM 所成角的正弦值；
(3)求点 P 到平面 BDM 的距离.
试卷第 12页，共 20页
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13．（23-24 高二上·山东聊城·期末）图 1 是由Rt△ABC ，直角梯形 ACDE 和等腰梯形
BCGF 组成的一个平面图形，其中 ACD=90 ， ACBC 2，
CDDECGGFFB 1，将直角梯形 ACDE 和等腰梯形 BCGF 分别沿 AC，CB 折
起使得 CD，CG 重合，连接 EF，如图 2.
(1)求图 2 中的点 B 到平面 ACDE 的距离；
(2)证明图 2 中的 A，B，F，E 四点共面，并求平面 ABFE 与平面 ACDE 夹角的余弦值.
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14．（23-24 高二下·上海·开学考试）如图，在正方体 ABCDABCD 1111 中，E 为棱CC1的
中点，点 F 在线段 DB1上，且32DFFB 1．
(1)用DA，DC ，DD1 表示 DA1 ，DE1 及 DF1 ；
(2)求证：A ， E ，D1， F 四点共面．
试卷第 14页，共 20页
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15．（2024 高三·全国·专题练习）如图是由矩形 ADEB 、Rt△ABC 和菱形 BFGC组成的
一个平面图形，其中 ABBEBFFBC1,2,60 ，将其沿 ABBC, 折起使得 BE 与 BF
重合，连接 DG，如图（2）．
(1)证明：图（2）中的 ACGD,,, 四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE；
(2)求图（2）中的四边形 ACGD的面积．
(3)求图（2）中的二面角 BCGA 的大小．
试卷第 15页，共 20页
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16．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是边长为 3 的正
方形，点E ，F ，G ，H 分别在侧棱 PA ，PB，PC，PD上，且 PEAE 2 ，PFFB 2 ，
GCPG 2 ，HDPH 2
(1)证明： E ， F ，G ， H 四点共面；
(2)如果 PAPC 5， PD 4，M 为GC 的中点，求二面角 EHFM 的正弦值．
试卷第 16页，共 20页
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17．（23-24 高二下·上海·阶段练习）如图，棱长为 2 的正方体 ABCDABCD 1111 中，MNP､ ､
分别是CDCCAA1111､ ､ 的中点.
(1)证明：MNAB､ ､ 1､ 四点共面；
(2)求异面直线PD1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
试卷第 17页，共 20页