压轴解答题-新题型第19题新定义（9大题型）（练习）（原卷版）.pdf

文档介绍：该【压轴解答题-新题型第19题新定义（9大题型）（练习）（原卷版） 】是由【和合】上传分享，文档一共【14】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【压轴解答题-新题型第19题新定义（9大题型）（练习）（原卷版） 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。 : .
获取优质高中数学资料请加微信：A57585857
压轴解答题- 新题型第 19 题新定义 练习
01 集合新定义..............................................................................................................................................1
02 函数与导数新定义 ..................................................................................................................................2
03 立体几何新定义......................................................................................................................................4
04 三角函数新定义......................................................................................................................................6
05 平面向量与解三角形新定义 ................................................................................................................. 7
06 数列新定义..............................................................................................................................................8
07 圆锥曲线新定义....................................................................................................................................10
08 概率与统计新定义 ................................................................................................................................12
09 高等数学背景下新定义 ........................................................................................................................13
01 集合新定义
1．已知 N 元正整数集合 AaaaN 12,,,2 N  满足：aaa12  N ，且对任意ijNij,1,2,,,  ，都有
aj
Z
aaji
(1)若a1  2，写出所有满足条件的集合 A ；
(2)若aN 恰有 N 个正约数，求证：aaNN 1 1；
aj j
(3)求证：对任意的ijNij,1,2,,1,  < ，都有  .
aii

进高中数学资料第一大群请加微信：A57585857 : .
获取优质高中数学资料请加微信：A57585857
Saaan ,,,3     ainN,1,2,,*  S ABS, 
2．设集合 12 n ，其中 i .若集合 满足对于任意的两个非空集合 ，都
有集合A 的所有元素之和与集合 B 的元素之和不相等，则称集合S具有性质 P .
(1)判断集合1,2,3,5,9,1,3,5,11  是否具有性质 P ，并说明理由；
Saaan ,,,N  * k *
(2)若集合  12 n 具有性质 P ，求证：knaaak, 12  k 21,N ；
111 
(3)若集合Saaa 122023,,, L 具有性质 P ，求 的最大值.
aaa12 2023
3．已知集合M {1,2,3,,}(3) nn .若对于集合 M 的任意 k 元子集 A，A 中必有 4 个元素的和为1，则称
这样的正整数 k 为“好数”，所有“好数”的最小值记作 gM() .
(1)当n  3，即集合M {3,2,1,1,2,3} .
（i）写出 M 的一个子集 B，且 B 中存在 4 个元素的和为1；
（ii）写出 M 的一个 5 元子集 C，使得 C 中任意 4 个元素的和大于1；
(2)证明： gMn()2  ；
(3)证明：gMn()3  .
02 函数与导数新定义
4．对于函数 yfx  的导函数 yfx  ，若在其定义域内存在实数 x0和t ，使得 fxttfx 0   1  0成立，
则称 yfx  是“跃点”函数，并称 x0是函数 yfx  的“t 跃点”.
π
(1)若函数yxmxsinR  是“ 跃点”函数，求实数m的取值范围；
2
(2)若函数yxax2 1是定义在1,3上的“1 跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1 跃点”，求实数a的取
值范围；
ybxxex  R
(3)若函数 是“1 跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1 跃点”，求实数b 的取值范围.

进高中数学资料第一大群请加微信：A57585857 : .
获取优质高中数学资料请加微信：A57585857
5．俄国数学家切比雪夫（，1821-1894） I 上的
函数 fx ，以及函数 gxkxbkb   ,R ，切比雪夫将函数 yfxgx     ，xI 的最大值称为函数 fx 与
gx 的“偏差”.
fxxx 2 0,1 gxx  1 fx gx
(1)若     ，   ，求函数  与  的“偏差”；
fxxx 2 1,1 gxxb  fx  gx
(2)若     ， ，求实数b ，使得函数 与  的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”
的最小值.
6．设 yfx () 是定义域为R的函数，如果对任意的x1、 xxxfxfxxx2121R ,    212 均成立， 则称
yfx () 是“平缓函数”.
1
(1)若fxfxx1(),()sin 2 2  ， 试判断 yfx 1() 和 yfx= 2() 是否为“平缓函数” ? 并说明理由; (参考公式: x  0
x 1
时， sin xx 恒成立)
(2)若函数yfx () 是“平缓函数”， 且 yfx () 是以 1 为周期的周期函数， 证明:对任意的x1、 x2 R ， 均有
1
fxfx 1  2 ;
2
(3)设ygx () 为定义在R 上函数， 且存在正常数 A 1 使得函数 yAgx () 为“平缓函数”. 现定义数列xn满
Ag|(0)|
足: xxgxn1 0, nn  1(2,3,4,) ， 试证明:对任意的正整数 ngx,  n .
A1
7．若定义域为 D 的函数 yfx  满足 yfx  是定义域为 D 的严格增函数，则称 fx 是一个“T 函数”.
fx  ex fxx  3
(1)分别判断 1  ， 2   是否为 T 函数，并说明理由；
(2)已知常数a  0，若定义在0, 上的函数 ygx  是 T 函数，判断 gaga 12  和 gaga   3的大
小关系，并证明；
(3)已知T 函数 yFx  的定义域为 R，不等式 Fx  0的解集为,0．证明： Fx 在 R 上严格增.

进高中数学资料第一大群请加微信：A57585857 : .
获取优质高中数学资料请加微信：A57585857
03 立体几何新定义
8．如图 1 所示为一种魔豆吊灯，图 2 为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥OABCDEF1  和OABCDEF2  构成，两
个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为1600mm ，底面中心为O，通过连接线及吸盘固定在天花板
上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点O2与天花板的距离为1300mm ，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设
金属条的总长为 y．
（1）设∠O1AO = (rad)，将 y 表示成θ的
函数关系式，并写出θ的范围；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是
多少时，金属条总长 y 最小．
9．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图 1 HABC ，
JCDE ，KEFA ，再分别以 AC，CE ，EA 为轴将ACH ，CEJ ，EAK 分别向上翻转180，使H ，J ，K
三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图 2 ，定义
其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 2π减去蜂房多面体在该点
的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，
π π
每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 2π3 π .
3 3
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为 1，侧棱长为 2，设 BHx
（i）用 x 表示蜂房（图 2 右侧多面体）的表面积 Sx() ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 S的曲率的余弦值.

进高中数学资料第一大群请加微信：A57585857 : .
获取优质高中数学资料请加微信：A57585857
10．用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投
，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影. 投影线垂直于投影面
产生的平行投影叫做正投影，､大小与它相对
，已知平行四边形 ABCD在平面 内的平行投影是四边形 ABCD .
图1 图2 图3
(1)若平行四边形 ABCD平行于投影面（如图1），求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
(2)在图2 中作出平面 ABCD与平面 的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图3，已知四边形 ABCD 和平行四边形 ABCD的面积分别为 SS12, ，平面 ABCD与平面 的交线是直线l，
AlA 的平面角为（ 为锐角），猜想并写出角 的余弦值（用SS12, 表示），
再给出证明.
11．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， O为透视中心，平面内四个点
CA
EFGH,,, 经过中心投影之后的投影点分别为 ABCD,,, ．对于四个有序点 ABCD,,, ，定义比值 x  CB 叫做这四
DA
DB
个有序点的交比，记作ABCD．
(1)证明：EFGHABCD  ；
3 sin3ACO
(2)已知EFGH ，点B 为线段 AD的中点，ACOB 33,  ，求cosA ．
2 sin2AOB

进高中数学资料第一大群请加微信：A57585857 : .
获取优质高中数学资料请加微信：A57585857
04 三角函数新定义
12．如果对于三个数 a、b、c 能构成三角形的三边，则称这三个数为 “三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如
果函数 yfx  使得三个数 fa() 、 fb() 、 fc() 仍为“三角形数”，则称 yfx  为“保三角形函数”．
 
(1)对于“三角形数” 、 2 、  ，其中  ，若 fxx()tan ，判断函数 yfx  是否是“保三角形
4 84
函数”，并说明理由；
   7
(2) 对于“三角形数” 、  、  ，其中  ，若 gxx()sin ，判断函数 ygx () 是否是“保三
6 3 612
角形函数”，并说明理由．
357 
xxx
13．数学家发现：sin xx ，其中 n! 123.  n 利用该公式可以得到：当 x(0,) 时，
3!5!7! 2
3 35
x xx
sin;sin;sinxxxxxx ;.
3! 35!
 sin1x
(1)证明：当 x(0,) 时，  ;
2 x 2
(2)设 fxmx()sin ，当 fx() 的定义域为ab, 时，值域也为ab, ，则称ab, 为 fx