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高考数学必背公式与知识点过关检测
§第一部分：集合与常用逻辑用语
1. 子集个数：含n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，
有 个非空真子集
2. 常见数集：
自然数集： 正整数集 ：或 整数集：有理数集： 实数集.
3. 空集：∅是任何集合的，是任何非空集合的 .
4. 元素特点： 、 、 .
5. 集合的的运算：集运算、 集运算、集运算
6. 主要性质和运算律：
①重要结论：A∩A=A，A∩∅=∅∩ A=∅；A∪A=A，A∪∅=∅∪ A=A；U∩A=A，U∪A=U．
②包含关系：A⊆A，∅⊆ A，A⊆U，CUA⊆U；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∪B⊇
A，A∪B⊇B。
③等价关系：A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔CUA⊇CUB⇔A∩CUB=∅⇔ CUA∪B=U；
④集合的运算律：交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；
结合律：(A∩B)∩ C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪ C=A∪(B∪C)；
分配律：A∩(B∪C)=( A∩B)∪( A∩C)=( A∪B)∩( A∪C)；
求补律：A∩CUA=∅，A∪CUA=U，CU(CUA)= A；
反演律：CU(A∩B)= CUA∪CUB，CU(A∪B)= CUA∩CUB。
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7. 四种命题：
原命题：若p，则q；逆命题：若 ，则 ；
否命题：若 ，则 ；
逆否命题：若 ，则 ；
原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互
；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 .互为逆否的命题
.
8. 充要条件的判断：p ⇒ q，p 是 q 的 条件；p ⇒ q，q 是 p 的 条件；p ⇔
q，p,q互为 条件；
注意区分：“甲是乙的充分条件(甲⇒乙)”与“甲的充分条件是乙(乙⇒甲)”；
建立与 p、q相应的集合，即p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}。
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊊B，则p是q成立的充分不必要条件；
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊊A，则p是q成立的必要不充分条件；
(3)若A=B，则p是q成立的充要条件；
(4)若A⊄B且B⊄A，则p是q成立的既不充分也不必要条件。
9. 逻辑联结词：
或命题：p∨q，p,q有一为真即为 ，p,q均为假时才为 ；
且命题：p∧q，p,q均为真时才为 ，p,q有一为假即为 ；
非命题：¬p和 p为一真一假两个互为对立的命题
10. 全称量词与存在量词：（1）全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；
全称命题 p：∀x∈M, p(x)；全称命题p的否定¬p： ；
（2）存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；
特称命题 p：∃x∈M, p(x)；特称命题p的否定¬p： ；
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§第二部分 ：函数与导数及其应用
1. 函数的定义域：
分母 0；
偶次被开方数 0；
0次幂的底数 0 ；
对数函数的真数 0；
指数与对数函数的底数 0且 1
y=sinx、y=cosx的定义域为 ；y=tanx的定义域为{x ,k∈z ；
实际问题应考虑实际限制。
2. 分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；
分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 .
3. 函数的单调性：设x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2，那么：
f(x1)- f(x2)
(1)(x1-x2)f(x1)- f(x2) >0⇔ >0⇔ f(x)在 a,b上是函数；
x1-x2
f(x1)- f(x2)
(2)(x1-x2)f(x1)- f(x2) <0⇔ <0⇔ f(x)在 a,b上是函数；
x1-x2
(3)如果 f(x)>0，则f(x)为函数； f(x)<0，则f(x)为函数；
(4)复合函数的单调性：根据“同异”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4. 函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于对称是函数具有奇偶性的前提条件
⑵ β是函数 ⇔ f(−x)=− f(x)；β是函数 ⇔ f(−x)=f(x).
⑶奇函数x在0处有定义，则
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有的单调性，偶函数有的单调性
⑸偶函数图象关于轴对称、 奇函数图象关于坐标对称
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5. f(x)=0除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数= .奇函数×奇函数= .奇函数±偶函数= .
奇函数×偶函数= .偶函数±偶函数= .偶函数×偶函数= .
f(x)−f(−x) f(x)+f(−x)
6. 任意 f(x)都可写成一个奇函数ϕ(x)= 和一个偶函数ψ(x)= 的和。
2 2
7. 常见的奇函数：a>0且a≠1
(1)f(x)=ax−a−x ； (2)f(x)=xn(n为奇数)； (3)f(x)=sinx；
ax−a−x a2x−1 ax+a−x a2x+1
(4)f(x)=tanx； (5)f(x)= x −x = 2x ，f(x)= x −x = 2x ；
a +a a +1 a −a a −1
1−ax 1+ax
(6)f(x)= x ，f(x)= x ；
1+a 1−a
1−x 1+x
(6)f(x)=loga ，f(x)=loga ；
1+x 1−x
(7)f(x)=log ( x2+1 +x)，f(x)=log ( x2+1 −x)， f(x)=log ( (bx)2+1 +bx)，b∈R。
a a a
8. 常见的偶函数：(1)f(x)=ax+a−x ； (2)f(x)=|x|； (3)f(x)=xn(n为偶数)； (4)f(x)=cosx。
9. 函数的周期性：周期有关的结论：(约定a>0)
(1)f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T= ；若T是周期的 (n∈Z且n≠0)也是周期；
1
(2)f(x+a)=− f(x)，或f(x+a)=± (f(x)≠0)，则f(x)的周期T= ；
f(x)
(3)f(x+a)= f(x−a)的周期为.
10. 函数的对称性：
①y= f(x)的图象关于直线 对称⇔ f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x)；
②y= f(x)的图象关于直线 对称⇔ f(a+x)= f(b-x)⇔f(a+b-x)=f(x)；
③ f(x)关于点A(a，b)对称的充要条件是：f(x)+f(2a−x)=2b，即f(a−x)+f(a+x)=2b
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11. 对数运算规律：
(1)对数式与指数式的互化：
(2)对数恒等式：log 1= ，log a= ，log ab= ．lg2+lg5= ，
a a a
lne=
(3)对数的运算性质：
M
①加法：logaM+logaN= ②减法： =loga
N
③数乘： =log Mn(n∈R)
a
④恒等式：alogaN = ⑤log mbn= ⑥换底公式：logaN= ，
a
12. 二次函数：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是判别式 Δ；
Δ>0时，图像与x轴有 个交点；Δ=0时，图像与x轴有个交点； f(0)=0时，图像与
bi=kai轴没有交点；
13. 韦达定理：若x x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则：x +x = ，x x = .
1, 2 1 2 1 2
14. 幂函数
定义：一般地，形如y=xk(k为常数，k∈Q)叫做幂函数，需要注意：(1)系数为； (2)指数是有理
数并且为常数；(3)后面不加任何项；如：y=3x,y=xx+2,y=x2+2都不是幂函数.
2、幂函数在(0，+∞)( 第一象限内)性质
1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图像都经过定点，
2)当k>0时，则幂函数图像过原点，并且在区间(0，+∞)为；
3)当k<0时，则幂函数在区间(0，+∞)为；
4)当k为奇数时，幂函数为 函数；当k为偶数时，幂函数为函数；
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15. 指数函数图像及性质
函数名称 指数函数
形如y = ax(a > 0,a≠ 1)函数叫做指数函数，其中x 是自变量.
定义
需要注意:(1)系数为1；(2)自变量在指数位置上；(3)函数的底数必须大于0且不等于1；
a > 1 0 < a < 1
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
函数值的
变化情况
a 变化对
图象的影
响
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16. 对数函数及性质
函数名称 对数函数
形如y = logax(a> 0 且 a ≠ 1)的函数叫做对数函数.
定义 需要注意:(1)系数为1；(2)自变量在指数位置上；(3)函数的底数必须大于0且不等
于1；
a > 1 0 < a < 1
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
函数值的
变化情况
a 变化对图
象的影响
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