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数列综合大题归类
目录
【题型一】“函数型”裂项求和：基础型
【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型
【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型
【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和
【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型
【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型
【题型七】递推公式：分式型不动点
【题型八】插入数型
【题型九】数列跳项型
【题型十】证明数列不等式
【题型十一】新结构第19题型：差分密码型
【题型一】“函数型”裂项求和：基础型
m m 1 1 1 1 1 1
基础原理： = - ，如： = - ；
pq q-p p q 2×4 4-2 2 4
基本题型：① 1 = 1 - 1 ；② 1 = 1 1 - 1 ；
nn+1 n n+1 2n-1 2n+1 2 2n-1 2n+1
注意(避免掉坑)
①分母分解因式： 1 = 1 = 1 1 - 1 ；
n2+3n nn+3 3 n n+3
1 1 1 1 1 1 1
②系数不相同就提系数： = ⋅ = ⋅ - ；
n2n+4 2 nn+2 2 2 n n+2
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项 (或正负项)
对应.
1 1 1 1
(1) = - ；
nn + k k n n + k
1 1
(2) = n + k - n ；
n + k + n k
1 : .
1 1 1 1
(3) = - ；
2n - 1 2n + 1 2 2n - 1 2n + 1
1 1 1 1
(4) = - ；
nn + 1 n + 2 2 nn + 1 n + 1 n + 2
分式型分子裂差法
fn fn λan+1-an 1 1
形如 型，如果 fn =λan+1-an ，则可以分子裂差： = = λ -
an⋅an+1 an⋅an+1 an⋅an+1 an an+1
Sn
1 (22·23·龙岩·二模)已知等差数列 an 的首项为 1，公差d≠0，前n项和为Sn，且 为常数．
S 2n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)令b = n - n+1 ，证明：b +b +b +⋯+b < 1 ．
n a a a a 1 2 3 n 3
n n+1 n+1 n+2
2 (22·23·秦皇岛·模拟预测)设等比数列 an 的前 n项和为Sn，数列 bn 为等差数列，且公差 d≠0,a1=
b1=2，a3=b3,S3=b5.
(1)求数列 an 的通项公式以及前 n项和Sn；
2n+1 1
(2)数列 2 2 的前 n项和为Tn，求证：Tn≤ .
n bn+4 9
3 (2024下·福建·高三校联考开学考试)已知正项数列 an 中，a1=1，an+1=an+2 an +1．
(1)求数列 an 的通项公式；
2 an +1 99
(2)记数列bn= 的前n项和Sn，求满足Sn< 的正整数n的集合．
ana n+1 100
2 : .
【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型
指数裂项法
mqn+r+t mqn+r+t
形如 型，如果 mqn+r+t=λhqn+b - hqn+1+b ，则可以分子裂差： =
hqn+b hq n+1+b hqn+b hq n+1+b
λhqn+1+b - hqn+b
= λ 1 - 1
hqn+b hq n+1+b hqn+b hqn+1+b
1 (2023·广西玉林·校联考模拟预测)记Sn为数列 an 的前 n项和，已知a1=2，an+1=Sn+n．
(1)证明：当n≥2时，数列 an+1 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
2n+1 1
(2)设bn= ，数列 bn 的前 n项和为Tn，证明：Tn< ．
an+1a n+2 3
2 (2023上·海南海口·高三校考阶段练习)在数列 an an≠0 和 bn 中，a1=1,b1=2，且an+1bn是ana n+1
和anbn+1的等差中项.
bn
(1)设cn= ，求证：数列 cn-1 为等比数列；
a n
3×2n
(2)若bn= n ,an 的前n项和为Sn，求证：Sn<3.
2 +1
3 (2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习)已知数列 an 的首项 a1=4，且满足an+1=3an
-2 n∈N* ．
(1)求证：数列 an-1 为等比数列；
3n
(2)记bn= ，求数列 bn 的前 n项和Sn．
an⋅an+1
3 : .
【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型
正负型：等差裂和型
n fn
形如 -1 ⋅ 型，如果 fn =λan+1-an ，则可以分子裂差：
an⋅an+1
n fn n λan+1-an n 1 1
-1 ⋅ = - 1 ⋅ = - 1 ⋅ λ -
an⋅an+1 an⋅an+1 an an+1
1 (2023·河北唐山·三模)设S 为数列 a 的前 n项和，a >0，a2+2a +1=4S .
n n n n n n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 -1 n 4n 的前 n项和T .
n
ana n+1
2 (2023·江苏镇江·二模)已知数列 a 满足： a = 1 ,a = n a .
n 1 n+1 n
4 n+2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若b =(-1)n(2n+1)a ，求数列 b 的前 n项和S .
n n n n
1 4
3 (2023·湖南永州·三模)记正项数列 an 的前 n项积为Tn，且 =1- .
an Tn
(1)证明：数列 Tn 是等差数列；
n 8n+6
(2)记bn= -1 ⋅ ，求数列 bn 的前 2n项和S2n.
Tn⋅Tn+1
4 : .
【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和
正负型：指数裂和型
mqn+r+t
形如 -1 n⋅ 型，如果 mqn+r+t = λhqn+b + hqn+1+b ，则可以分子裂和：-1 n⋅
hqn+b hq n+1+b
mqn+r+t λhqn+1+b + hqn+b
n n 1 1
n n+1 = -1 ⋅ n n+1 = -1 ⋅ λ n + n+1
hq +b hq +b hq +b hq +b hq +b hq +b
1 (23·24上·湖北·期中)已知{an}为等比数列，且a2+a3+a4=14，a2,a3+1,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(-1)n6a +2
n ∗
(2)当{an}为递增数列时，bn= n n+1 ，数列{bn}的前n项和为Tn，若存在n∈N ,m≥Tn，求m的
2 +1 2 +1
取值范围.
2 (23·24上·黔东南·阶段练习)已知数列 an 满足： a1=1，an=2an-1+1n≥2 .
(1)证明：an+1 是等比数列，并求 an 的通项公式；
(-1)n(3n+2)
(2)令bn= ，求 bn 的前 n项和Sn.
n(n+1)an+1+1
3 (22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中)已知数列 an 满足 a1=14,an+1=3an-4.
(1)求 an 的通项公式；
(-1)na
(2)设b = n ，数列 b 的前 n项和为T ，若存在n∈N*，使m≥T ，求m的取值范围.
n n n+1 n n n
3 +1 3 +1
5 : .
【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型
仿写规律：t>1
bn 1 1 bn
① n ⇒ n-1 - n = λ n (可通分反解λ)；
a n⋅an+1⋅t an⋅t an+1⋅t a n⋅an+1⋅t
b ⋅tn tn+1 tn b ⋅tn
② n ⇒ - = λ n (可通分反解λ)
a n⋅an+1 a n+1 a n a n⋅an+1
1 (23·24上·甘南·期中)在数列 a 中，a =2且∀n∈N*,a =3a +2×3n.
n 1 n+1 n
(1)求 an 的通项公式；
a +3n
n 1
(2)设bn= ，若 bn 的前 n项和为Sn，证明：Sn< .
ana n+1 4
2 (23·24上·合肥·阶段练习)在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这
n+2个数的乘积记作Tn，令an=log3Tn.
(1)求数列 an 的通项公式；
n+1 ⋅ 2n-1
(2)若bn= ，求数列 bn 的前 n项和Sn.
ana n+1
3 (23·24上·昆明·阶段练习)已知数列 a 满足 a =2,a =2n+1a n ∈N* .
n 1 n+1 n
(1)求数列 an 的通项公式；
2 2 bn+2 3 1
(2)设bn=log2an-n ，数列 n+1 的前 n项和为Sn，求证： ≤Sn< .
2 bn⋅bn+1