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专题4-5 隔项等差与隔项等比以及和为等比
1、隔项等差数列（和为等差）
已知数列{}an ，满足 a a kn bnn+ 1 +=+−−−− ，（ k≠0） (1)
则 a a k n bnn++21+=++−−−− ( 1) (2)； a a k n bnn+=−+−−−−− 1 ( 1) (3)
(2) (1) :−−= a a knn+ 2 ；或 (1) (3) : ( 2)−−= a a k nnn+−11则称数列{}an 为隔项等差数列，其中：
①a a a a1 3 5 7, , , 构成以a1 为首项的等差数列，公差为k ；
②a a a a2 4 6 8, , , 构成以a2 为首项的等差数列，公差为k ；
2、隔项等比数列（积为等比）
已知数列{}an ，满足 a a m qnn+ 1 =−−−− n， (1)
则 a a m qnn++21=−−−− ；na a m q+ nn1 =−−−−− 1 (2) n − 1 (3)
(2) an+2 （其中q 为常数）；或(1) a n +1 则称数列{}an 为隔项等比数列，其中：
(1) : a = q (3) : ( 2)a =qn
n n −1
①a a a a1 3 5 7, , , 构成以a1 为首项的等比数列，公比为q ；
②a a a a2 4 6 8, , , 构成以a2 为首项的等比数列，公比为q ；
3、和为等比数列（和为等比）
已知数列{}an ，满足 a a m qnn+ 1 +=−−−− ，n (1)
则 a a m qnn++21+=−−−− n + 1 (2)
(2) (1) : 1−−=− a a q m qnn+ 2 ，再通过累加法和错位相减求出( ) {}an 的通项公式n
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重点题型·归类精讲
题型一 隔项等差（和为等差）
1．已知a a nnn+1 +=+ 21,求an 的通项公式．
【答案】ann = ；
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判
断为隔项等差数列
解答过程
下结论
求通项 求通项
当 为奇数：
当 为偶数：
综上：
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2．已知各项均为正数的数列an 满足：a1=1 ， a a nnn+=+ + 1 41，求数列an 的通项公式.
3．已知数列{an} 中，对任意的n N+ ,都有a n + a n +1 = 4 n ，a1=3 ，求{an} 的通项公式．
4．已知数列an 的前 n 项和为Sn ，且 a1=2 ，a a n nnn++1 +=+ 42，则数列( 1 N 的前) 2021 项的和为( )
Sn
A．2021 B．2020 C．2019 D．1010
2022 2021 2020 1011
5．已知各项均为正数的数列an 的前n 项和为Sn ，且 12=nN，a1=1 .*求数列an 的通项
S a an n n +1 ( )
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6．数列{}an 满足a1=1 ，a a nnn+1 +=2 ，求an .
7．（多选）已知数列{}an 满足a1=1 ，a a nnn+1 +=4 ，则（ ）
A．a 2023 = 4045 B．Sn 是{}an 的前n 项和，则S100 = 20000
C．当n 为偶数时ann =+21 D．an 的通项公式是ann =−21
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题型二 隔项等比（积为等比）
8．已知正项等比数列an 对任意的nN* 均满足aann+1 = 2 21n+ ，a1=2 ，求an 的通项公式；
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作商 ，判断为隔项等比数
解答过程：
下结论
求通项 求通项
当 为奇数： 当 为偶数：
综上：
山东省济南市二模
9．（多选）已知数列an 中，a1=1 ，aann +1 = 2 n ，n N ，则下列说法正确的是（ ）
A．a4=4 B．a2n 是等比数列
C．aa2 2 1nn−=− 2 n − 1 D．aa2 1 2nn− +=2 n +1
2023·广东深圳二模
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10．已知数列an 满足，a1=3 ，aann+1 =9221n −，n N* .
(1)求数列an 的通项公式；(2)证明:数列an 中的任意三项均不能构成等差数列.
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题型三 和为等比
11．已知数列{}bn 中， b b b n N11=+=1, 2 ,nn+ ，求数列n − 1 {}b2n 的前 n *和.
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差
变换下标，写成
累加
求通项
求和
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12．（2023·重庆巴南·一模）在数列an 中，已知aann+1 += 32n，a1=1 ，求an 的通项公式．
13．已知数列an 满足a a an n n++21=+23，a =1 ，a =3 ．
1 2 2 2
(1)求an 的通项公式．
(2)若数列an 的前n 项和为Sn ，且 1 恒成立，求实数 的取值范围．*
4 +−S n nn 2 7 N( )
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