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第 课 微分中值定理
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课题
微分中值定理
课时
2课时（90 min）
教学目标
知识技能目标：
理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用。
思政育人目标：
通过学习罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力
教学重难点
教学重点：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明过程
教学难点：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的应用
教学方法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）
第2节课：知识讲解（25 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
考勤
（2 min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤
【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况
知识讲解
（33 min）
【教师】讲解罗尔中值定理及其证明过程，并通过例题介绍其应用
费马引理 设在的某一邻域内有定义，且在点处可导，如果对任意的，都有或，则．
证明 不妨设时，（可以类似地证明）．那么，当时有
，
当时有
学习罗尔中值定理及其证明过程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
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．
由在处可导及函数极限的保号性得
，
，
所以．
费马引理的几何意义如图3-1所示：若曲线在点是局部最高点或局部最低点，则曲线在该点处必有水平切线．
定理1（罗尔中值定理） 设在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得．
图3-1
证明 由于在上连续，根据闭区间上连续函数的最值定理可知，在上必有最大值和最小值．这样，有以下两种可能的情形：
（1）若在上，则在上为常数，函数在内任意点的导数为0；
（2）若，由于，与至少有一个值在内取得．现设（证法类似），则必存在一点，使（或）．因此对任意
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，都有，由费马定理知．
罗尔定理的几何意义：对闭区间上的连续曲线，当两端点连线为水平直线时，在开区间内至少有一点具有水平切线，如图3-2所示．
图3-2
例1 验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求点，使．
证明 因为是初等函数，所以在上连续，在内可导，且，故其满足罗尔定理的三个条件．
又因为，由得，，所以．
例2 证明的导函数有3个零点分别位于区间，，内．
证明 因为在R上连续可导，且，在区间，，上应用罗尔定理，存在，，，使得，，．所以，，是的三个零点．
【学生】理解罗尔中值定理
课堂测验
（10 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
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【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程
【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
第二节课
知识讲解
（25 min）
【教师】讲解拉格朗日中值定理及其证明过程，并通过例题介绍其应用
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数在上连续，在内可导，则至少存在一点，使得．
分析 如图3-3所示，拉格朗日中值定理实际是让我们证明曲线上存在一点，使其切线平行于，点所在直线，即
（），
．
图3-3
因此，只要证明在上满足罗尔中值定理条件，即可证明拉格朗日中值定理成立．
证明 易知，点所在直线方程为
．
令，
学习拉格朗日中值定理、柯西中值定理。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
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因为在上连续，在内可导，所以在上连续，在内可导，并且
所以，由罗尔中值定理知至少存在一点，使得．而
所以，即．
拉格朗日中值定理的几何意义：如果过连续曲线上除端点外的其他点有不垂直于x轴的切线，那么这条曲线上除端点外至少存在一点，使过该点的切线平行于区间两端点的连线．
显然，对于拉格朗日中值定理的条件，若进一步使得，则拉格朗日中值定理即为罗尔定理，这说明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况．
例3 验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出定理中的．
证明 显然在上连续，在内可导，故其满足拉格朗日中值定理的条件．又因为
，
则，
解得，（舍去）．
作为拉格朗日中值定理的应用有如下推论．
推论 若在区间I上的导数恒为零，则在区间I上是一个常数．
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证明 在区间I上任取两点，()，应用拉格朗日中值定理得
．
假设，所以，而，在区间I上的选取是任意的，因此在区间I上是一个常数．
例4 证明，．
证明 设，则
，，
所以，．
又因为，所以，结论得证．
例5 证明当时，．
证明 设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，则
．
又因为，，因此
．
而，所以
，
不等式两边同时取倒数得
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，
不等式两边同时乘以x得
，
即
．
【学生】理解罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况
【教师】讲解柯西中值定理
定理3（柯西中值定理） 设函数，在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得
．
证明 设，因为，在上连续，在内可导，所以在上连续，在内可导，且
所以，在上满足罗尔中值定理条件，故至少存在一点，使得．又因为
，
所以
．
又因为时，，则，
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（在上满足拉格朗日中值定理条件），故
．
若取，则，，则柯西中值定理变为
，
因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的特殊情况.
【学生】理解拉格朗日中值定理为柯西中值定理的特殊情况
问题讨论
（5 min）
【教师】组织学生讨论以下问题
利用函数说明在区间上罗尔定
理不成立，在区间上拉格朗日中值定理不成立，并阐述理由．
【学生】讨论、发言
通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解
课堂测验
（10 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程
【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
课堂小结
（5 min）
【教师】简要总结本节课的要点
本节课学习了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。
【学生】总结回顾知识点
【教师】布置课后作业：
总结知识点，巩固印象
教学反思
本节课取得了较好的教学效果，在课堂测试环节针对学生练习中出现的问题进行了
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细致的辅导，为学生解决了很多以前没有弄懂的问题，并从中发现了一些教学中的盲点，后面的教学中会针对这些问题进行具体讲解。
目 录
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