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第 课 函数图形的描绘、曲率
函数图形的描绘、曲率 第 课
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函数图形的描绘、曲率 第 课
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课题
函数图形的描绘、曲率
课时
2课时（90 min）
教学目标
知识技能目标：
（1）掌握曲线渐近线的求法。
（2）掌握描绘函数图形的一般步骤。
（3）理解曲线弧微分的求法。
（4）掌握曲率的概念及计算公式。
思政育人目标：
通过学习函数图形的描绘及曲率，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。
学重难点
教学重点：函数图形的描绘步骤，曲率的概念
教学难点：曲线渐近线的求法，曲线弧微分的求法
教学方法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）
第2节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
考勤
（2 min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤
【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况
知识讲解
（33 min）
【教师】讲解曲线的渐近线，并通过例题介绍其求法
定义1 如果曲线上的点沿曲线无限远离原点时，点到一条直线的距离趋近于0，则这条直线就称为曲线的渐近线．
渐近线反映了曲线在无限延伸时的变化情况．渐近线可分为三类：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线．下面给出这三种渐近线的求法．
水平渐近线：若，则是曲线的水平渐近线．
学习曲线的渐近线和函数图形的描绘。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
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例如，是曲线的水平渐近线，因为，．
垂直渐近线：若，则是曲线的垂直渐近线．
例如，是曲线的垂直渐近线，因为，．
斜渐近线：若直线是曲线的斜渐近线，则有
（点到直线距离公式）．
从而，，这样有，即，所以，．而由，又得．因此，求曲线的斜渐近线，可通过公式，求出k，b．
例如，设曲线斜渐近线为，那么有
，，
所以是曲线的斜渐近线．
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例1 求曲线的渐近线．
解 因为
，
所以．故无水平渐近线．
又因为
，
所以
，．
由此可知，是曲线垂直渐近线．
对于斜渐近线，则有
，
，
所以是曲线的斜渐近线．
曲线的图像如图3-11所示．
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图3-11
一般来说，函数曲线的垂直渐近线都在函数无定义点取得．
【教师】讲解函数图形的描绘，并通过例题介绍其应用
函数图形描绘的一般步骤如下．
第一步：根据函数的表达式，求函数的定义域和值域，判断函数的奇偶性与周期性，并求出函数的一阶导数和二阶导数．
第二步：求出满足，的所有点和所有，不存在的点，通过把这些点由小到大排列，将函数定义域分为以这些点为端点的若干个区间．
第三步：确定在这些区间内与的符号，并给出单调区间、凹凸区间、极值点和拐点．
第四步：求函数曲线的渐近线，确定函数图像的延伸状态．
第五步：在坐标上标出，为0的点和不可导点的位置，为了使描图更准确，有时还要补充一些辅助点作图（如特殊点、端点和反映曲线延展的点）．
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第六步：根据第三、第四步得到结果，用平滑曲线连接各点作出函数曲线图形．
例2 描绘函数的图形．
解 （1）函数定义域为．
（2）时，，；时，，不存在．令，得驻点，；，即二阶导数无0点．
，，将分为四个区间，，，．
（3）在内，，，函数是递增凸的；在内，，，是递减凸的；在内，，是递减凹的；在内，，是递增凹的，如表3-6所示．
表3-6
1
3
0
不存在
0
不存在
图形
递增凸
极大值
递减凸
拐点
递减凹
极小值
递增凹
（4）求渐近线．
，是垂直渐近线；
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不存在，无水平渐近线，并且
，
，
所以，是斜渐近线．
综合以上结果，可画出函数图形，如图3-12所示．
图3-12
【学生】掌握函数图形的描绘
课堂测验
（10 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程
通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
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【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
第二节课
知识讲解
（30 min）
【教师】讲解弧微分的概念，并通过例题介绍其应用
如图3-13所示，设在内有连续导数．
图3-13
在曲线上取定点A作为度量弧长的起点，并规定依x增大的方向为弧的正向，设为曲线上任一点，s表示曲线的弧长．显然，弧长s由确定，因此s是x的函数，记为，下面我们用函数表示弧长s的微分．给定x的增量（），相应增量，s有增量，由导数的定义可知
．
因为，又因为
，所以
，
故
，
学习曲率的相关知识及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
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即
． （3-7）
式（3-7）称为函数表示弧长s的弧微分．
例1 求余弦函数的弧微分．
解 由弧微分公式得
．
【学生】理解弧微分的概念
【教师】讲解曲率的概念及计算公式，并通过例题介绍其应用
如图3-14所示，设曲线上一弧度的长为，在M点作曲线切线MT，当点M沿曲线运动到点N时，切线MT相应变成N点切线NP，记切线转过的角度为；而对于与MN同样弧长的弧（见图3-15），它比MN弧弯曲程度大，其切线转过角度为，显然．由此得出结论：当弧长相等时，转角越大，曲线的弯曲程度就越大，可见曲线弯曲程度与转角有关．但另一方面，若两段弧与转角相同都是（见图3-16），那么曲线弯曲程度与弧线长短成反比，因此又可得出结论：当转角不变时，弧长越长，曲线的弯曲程度越小，可见曲线弯曲程度还与弧长有关．
图3-14 图3-15
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图3-16
从以上研究可以看出，确定曲线的弯曲程度时，必须同时考虑弧段的长度和切线的转角两个因素．下面引入曲率的概念．
设曲线是光滑的（每点有切线，切线随切点连续移动），其上点对应弧，在点处切线的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处切线的倾角为，则点M移动到N时切线转过的角度与弧段长度的比值称为弧段的平均弯曲程度，也称弧段的平均曲率，记作，即
．
当时（即时），上述平均曲率的极限称为曲线在点处的曲率，记作，即
．
例2 求半径为R的圆的曲率．
解 如图3-17所示，弧长度为，，于是
，
所以
．
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图3-17
利用曲率的定义计算曲线的曲率是比较困难的，下面研究曲率的计算公式．
设二阶可导，前面已求出，下面求．
由导数的几何意义知，将两边对求导，得，则，于是，再由可知
． （3-8）
式（3-8）就是曲率的计算公式．
例3 求抛物线在点与点处的曲率，并证明抛物线在顶点处曲率最大．
解 因为，，所以抛物线上任意点处曲率为
．
点处，；在点处，．
又因为，所以