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分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课
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分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课
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课题
分部积分法、几种特殊类型函数的积分
课时
2课时（90 min）
教学目标
知识技能目标：
（1）能熟练地利用分部积分法计算不定积分。
（2）掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分和无理式的积分。
思政育人目标：
通过学习不定积分的分部积分法和几种特殊类型函数的积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。
教学重难点
教学重点：分部积分法的相关定理
教学难点：用分部积分法计算不定积分，化有理函数为部分分式
教学方法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）
第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
考勤
（2 min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤
【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况
知识讲解
（23 min）
【教师】讲解分部积分法，并通过例题介绍其应用
定理1 设函数，具有连续的导数，则
．
证明 由微分公式两边积分得
，
移项后得
学习分部积分法，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
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．
我们把公式或称为分部积分公式．
例1 求．
解 令，，由分部积分公式，可得
．
例2 求．
解 令，，由分部积分公式，可得
．
例3 求．
解 令，，即，则
例4 求．
解 令，，，则
．
例5 求．
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3
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解
．
结论 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，可将幂函数设为u，正（余）弦或指数函数设为v．
例6 求．
解
．
例7 求．
解
．
结论 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，可将对数函数或反三角函数设为u，幂函数设为v．
第 课 分部积分法、几种特殊类型函数的积分
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例8 求．
解法一
，
所以
．
解法二
，
所以
．
例9 求．
解 令，则，．
．
【学生】掌握分部积分法的应用
问题讨论
（10 min）
【教师】组织学生讨论以下问题
1．可以用分部积分法的类型有哪些？
通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解
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2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？
3．举例说明循环法适用的不定积分的类型．
【学生】讨论、发言
课堂测验
（10 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程
【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
第二节课
知识讲解
（20 min）
【教师】讲解有理函数的积分，并通过例题介绍其应用
形如
的函数称为有理函数，其中m和n都是非负整数；及都是实数，并且．当时，称这个有理函数为真分式；当时，称这个有理函数为假分式．
假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，
．
求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分．
例1 求．
解 设，则
学习有理函数和三角函数有理式的积分。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化
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，
即
解得，，所以
．
例2 求．
解 设，则
，
，
即
解得，．所以
．
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例3 求．
解 设，则
，
即
解得，，所以
．
【教师】讲解三角函数有理式的积分，并通过例题介绍其应用
例4 求不定积分．
解 令，则
则
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．
说明 并非所有三角函数有理式积分计算都要通过变换化为有理函数的积分．例如，
．
【学生】掌握有理函数和三角函数有理式的积分
问题讨论
（10 min）
【教师】组织学生讨论以下问题
1．如何将有理假分式化为有理真分式？
2．如何拆分有理真分式？有何方法和规律？
【学生】讨论、发言
通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解
课堂测验
（10 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程
【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象
课堂小结
（5 min）
【教师】简要总结本节课的要点
本节课学习了分部积分法、有理函数的积分、三角函数有理式的积分的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。
【学生】总结回顾知识点
【教师】布置课后作业：、
总结知识点，巩固印象
教学反思
本节课对学困生的“困难点”抓得不够准，也不够全面，导致部分学困生在课堂练习中对一些学过的知识仍把握不好。在今后的教学中，应抓准每一个学生的“困难点”，制定出科学合理的辅导计划。用足够的爱心和耐心树立学生学习的自信和兴趣，从根本上解决问题。
目 录
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