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数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义求得参数的值，回代后求共轭复数即得.
【详解】因为为纯虚数，所以，解得，
所以，所以.
故选：D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直的向量表示，和数量积的坐标表示求解.
【详解】根据题意，，
所以，
所以.
故选：C
3. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；
对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；
对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.
故选：C
4. 某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列出所有可能，再找出符合要求的情况即可得.
【详解】设这几个球中，红球分别为、、，白球分别为、，
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、共二十种，
其中取到不同颜色球的情况有：
、、、、、、、、、、、共十二种，
故其概率为.
故选：C.
5. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据
的平均数为，方差为，则平均数（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差的性质得到答案.
【详解】已知样本数据的平均数为，方差为，
则样本数据的方差为，所以，
又因为，所以．
样本数据的平均数为，所以，解得.
故选：C．
6. 已知，则到直线的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得.
【详解】由可知,
则与同方向的单位向量为，
又 , ,
故点到直线的距离为.
故选：D.
7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一，作出直线在平面射影为，得线面所成角，推导三余弦公式，代入计算即得；法二，建系，写出相关点和相关向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，
作于点G，则平面，直线与平面所成角为.
作于点H，连接，因平面，则，
又平面，则平面，
又平面，则.
于是有，，
即(*).
因由对称性知，，代入（*）得，
,故.
故选：A.
解法二：
如图所示，把放在正方体中，夹角均为.
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，所以，
设平面的法向量，则
令，则，所以，所以.
设直线与平面所成角为，所以，
故选:A
8. 中载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，
在下底面作，
以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得，
则即，即，
，，，， ，，
.
所以，
又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示．经测算，
倍，则预计该地区（ ）
A. 2030年煤的消费量相对2020年减少了
B. 2030年石油的消费量相对2020年不变
C. 2030年天然气的消费量是2020年的5倍
D. 2030年水、核、
【答案】CD
【解析】
【分析】设年该地区一次能源消费总量为，计算出2030年该地区煤、石油、天然气以及水、核、风能的消费量，逐项判断可得出正确选项．
【详解】设年该地区一次能源消费总量为，则预估年一次能源消费总量为.
对于选项A，2020年煤的消费量为，规划2030年煤的消费量为，故选项A错误；
对于选项B，2020年石油的消费量为，规划2030年石油的消费量为，故选项B错误；
对于选项C，2020年天然气的消费量为，规划2030年天然气的消费量为，故选项C正确；
对于选项D，2020年水、核、风能的消费量为，规划2030年水、核、风能的消费量为，故选项D正确．
故选：CD.
10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
D. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式，可判断A、B、C，根据古典概型概率公式，可判断D.
【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，
第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确；
对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，
则，，，
“三个人都不能破译出密码”发生的概率为，
所以此密码被破译的概率为，故B正确；
对C：由题意可得，即，
即，即，
又，故，∴，故C错误；
对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有，
共6个结果，其中取出2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，
则概率，故D正确；
故选：ABD.
11. 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 不存在点P，使平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D. 若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，先建系，写出点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量垂直关系求得动点轨迹方程即可判断；对于B，利用等体积转化即可得到；对于C，利用向量数量积等于0即得动点轨迹，计算即得；对于D，依题作出并证明截面为正六边形，计算即得.
【详解】
对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以，
若平面，则，
所以，即表示线段，
则当点在线段时，平面，
所以存在点，使得平面，A错误；
对于B，由等体积法，三棱锥的高为，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C，在选项A坐标系下，，若，
，即，
所以点的轨迹就是线段，
轨迹长为，C正确；
对于D，如图取中点，连接，
由题可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，又，
平面，则平面，
又取中点为，则，