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高三考前适应性测试
数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。
，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 k
M = {x|x = k + 2,k ∈ Z} N = {x|x = 2 + 1,k ∈ Z}
1．已知集合 ， ，则
A． M ⊆ N B． N ⊆ M C． M = N D． M ∩ N = ⌀
π π
2．已知角 α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sin3,cos3)，则
π
cos(α + 6) =
1 2 3
A．0 B． 2 C． 2 D． 2
{a } S S = t ⋅ 2n - 1 - 1
3．等比数列 n 的前n项和为 n，若 n ，则t =
A．2 B． - 2 C．1 D． - 1
3
4．一组数据按从小到大的顺序排列为 1，4， m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的 5，则该组数
据的第45 百分位数是
A．4 B．6 C．8 D．12
1 2
5．已知 △ ABC是边长为 1 的正三角形，AN = 3NC，P是BN上一点，且AP = mAB + 9AC，则AP ⋅ AB =
2 1 2
A． 9 B． 9 C． 3 D．1
z |z| = 1 |z - 1| = |z + i| z22=
6．已知复数 满足 ，且 ，则
A．1 B． - 1 C． i D． - i
x22 y22
C: 2 - 4 = 1(a > 0) F F
7．已知双曲线 a 的左右焦点分别为 1， 2，点P在双曲线的右支上运动（不与顶点重合）
，设PF1与双曲线的左支交于点Q，△ |QM| = 4，则双曲线C的离心率为
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
min{a,b} = a,a < b (a,b ∈ R)
{b,a ≥ b f(x) = min{2xx- a, - x + 6 - a}
8．定义 ，设 ，x ∈ R. 若函数
y = f(x) + ax有两个零点，则实数a的取值范围是
A． (0,1) B． (0,2) C． ( - 1,0) D． ( - 2,0)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知等差数列 {an}的前n项和为Sn，则下列命题为真命题的是
A．若 a3 + a4 = 9，a7 + a8 = 18，则a1 + a2 = 5B．若 a2 + a13 = 4，则S14 = 28
C．若 S15 < 0，则S7 > S8 D．若 {an}和{an ⋅ an + 1}均为递增数列，则an > 0
10．存在函数 f(x)满足：对于任意的x ∈ R，都有
f x22+ 2x = |x + 1| f x22+ 1 = |x + 1|
A． f(sinx) = cos2x B． f(cos2x) = sinx C． ( ) D． ( )
11．如图，棱长为 2 的正方体ABCD - A1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱AD，BB1的中点，G在棱AB上移
动，则 : .
A．对于任意点 G，OD//平面EFG
B．直线 EF被球O截得的弦长为 2
π
C．过直线 EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为2
D．当 G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． △ ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b = 2asinB，bc = 4，则 △ ABC的面积为
.
1 3 4
13．已知随机事件 A，B，若P(A) = 3，P(B|A) = 5，P(A|B) = 7，则P(B) = .
2x - 1 1 - 2x π π
f(x) = e - e + sin(2x - 4) + 1 f(2x + 1) + f(2 - x) ≥ 2
14．已知函数 ，则不等式 的解集
为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
f(x) = exx- ax - 1
已知函数 .
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）若对任意的 x ≥ 0，f(x) ≥ 0恒成立，求实数a的取值范围.
16．（15 分）
如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB = BC = 2，AB ⊥ BC，CC1 = 2 3，BE = λBB1(0 < λ < 1).
1
（1）当 λ = 3时，求证：CE ⊥ 平面ABC1；
（2）设二面角 B - AE - C的大小为θ，求cosθ的取值范围.
17．（15 分）
一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出 200 尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小
段时间后再从池塘里捞出500 尾鱼，X表示捞出的 500 尾鱼中有标识的鱼的数目.
（1）若 N = 5000，求X的数学期望；
（2）已知捞出的 500 尾鱼中 15 尾有标识，试给出N的估计值（以使得P(X = 15)最大的N的值作为N的估计
值）.
18．（17 分） : .
3
A( - 2,0) B(2,0) F1( - 1,0) F2(1,0) P kPA ⋅ kPB =- 4 P C PF1
已知 ， ， ， ，动点 满足 ，动点 的轨迹为曲线 . 交曲
线C与另一点Q，PF2交曲线C与另一点R.
（1）求曲线 C的标准方程；
|PF1| |PF2|
|QF | + |RF |
（2）已知 1 2 是定值，求该定值；
（3）求 △ PQR面积的范围.
19．（17 分）
∀k ∈ N * k ≥ 2 ak - 1 + ak + 1 ≤ 2ak {an}
定义：若对 ， ， 恒成立，则称数列 为“上凸数列”.
a = n22- 1 {a }
（1）若 n ，判断 n 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由.
{a } m ≥ n + 2 m,n ∈ N* a + a ≤ a + a
（2）若 n 为“上凸数列”，则当 ( )时， m n m - 1 n + 1.
n
Sn {an} n Sn ≥ 2(a1 + an)
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,xi,⋯,xn（n ∈ N * 且n ≥ 2），若
n n
∑ x2 - 1 ≥ ∑ x - λ 2 - 1
i ( i )
i = 1 i = 1 恒成立， Warning : .
【参考答案】
山东师大附中高三考前适应性测试
数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．A 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D 7．A 8．A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．BC 10．AC 11．BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．1
7
13． 15
14． [ - 2, + ∞)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x f''(x) = exx- a
15．（1） 函数 f(x) = e - ax - 1,x ∈ R，则 ，
exx> 0 ∴ f''(x) > 0
①当a ≤ 0时， ， ，f(x)是定义域R上的单调增函数；
f''(x) > 0 f''(x) < 0
②当a > 0时，由 ，得x > lna，由 ，得x < lna；
函数f(x)在( - ∞,lna)上单调递减，在(lna, + ∞)上单调递增。
（2） 由（1）知，当 a ≤ 0时，f(x)在(0, + ∞)上单调递增，
且f(0) = 0，所以f(x) ≥ 0恒成立；
当a > 1时，f(x)在(0,lna)上单调递减，在(lna, + ∞)上单调递增，
而f(0) = 0，所以f(x) ≥ 0不恒成立；
当0 < a ≤ 1时，lna ≤ 0，所以f(x)在(0, + ∞)上单调递增，
且f(0) = 0，所以f(x) ≥ 0恒成立；
综上，对任意x ≥ 0，f(x) ≥ 0恒成立时，a的取值范围是a ≤ 1.
16．（1） 证明：以 BC，BA，BB1为基底建立如图所示空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2 3)，E(0,0,2 3λ).
1 2 3 2 3
λ = 3 E(0,0, 3 ) AB = (0, - 2,0) BC1 = (2,0,2 3) CE = ( - 2,0, 3 )
当 时， ，所以 ， ， .
所以AB ⋅ CE = 0，BC1 ⋅ CE = 0，所以CE ⊥ AB，CE ⊥ BC1.
又AB ∩ BC1 = B，AB ⊂ 平面ABC1，BC1 ⊂ 平面ABC1，所以CE ⊥ 平面ABC1.
（2） 解： AC = (2, - 2,0)，AE = (0, - 2,2 3λ)，
设平面AEC的一个法向量为n = (x,y,z)， : .
→ →
AC ⋅ n1 = 0,
→ → 2x - 2y = 0
{AE ⋅ n1 = 0,
则 即{ - 2y + 2 3λz = 0,不妨取n = ( 3λ, 3λ,1).
因为BC ⊥ 平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为m = (2,0,0).
|n1 ⋅ n2| 3λ 3
|cosθ| = = 2 = 1 21
|n1| × |n2| 6λ + 1 6 + 2 cosθ ∈ (0, )
所以 λ，因为0 < λ < 1，所以 7 .
17．（1） 解：依题意 X服从超几何分布，且N = 5000，M = 200，n = 500，
M 200
故E(X) = n × N = 500 × 5000 = 20；
C15C 485
200 N - 200
P(X = 15) = 500
（2） 当 N < 685时