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第26课 导数的综合问题
1．（ 2025福建高考）已知，，且．现给出如下结论：
其中正确结论的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C．
【解析】∵，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
∴时，有极大值，当时，有极小值，
∵函数有三个零点，
∴，且，
又∵，∴，即，
2．（ 2025陕西高考）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .
【答案】2
【解析】函数在点处的切线为
，即.
∴D表示的平面区域如图，
当目标函数直线经过点时有最大值，
最大值为.
3．（ 2025门头沟一模）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）
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令，得，
当时，，函数在上单调减，
当时，，
在和上，有，函数单调减，
在上， ，函数单调增．
（2）当时，，
由（1）知，函数在上是单减，在上单调增，
∴函数在的最小值为，
若对任意，当时，恒成立，
只需当时，即可
代入解得，
∴实数的取值范围是．
4．（ 2025梅州一模）设函数，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（3）如果对任意的都有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
∴在处的切线方程为．
（2），使得成立，
等价于，
－
＋
极小值
由上表可知，，
∴满足条件的最大整数
(3) 对任意的都有成立，等价于：
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在区间上，函数的最小值不小于的最大值．
有(2)知，在区间上，的最大值为，
，等价于恒成立，
记，，，
记，，
由于，∴，
∴在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在上递减，
5．（ 2025陕西高考）设函数．
（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设为偶数，，求的最小值和最大值；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围．
【解析】(1)当时，，
∴在区间内存在零点．
又∵，，
∴在区间上是单调的，
∴在区间内存在唯一的零点．
（2）由题意，知，
∴的最小值为，最大值为．
（3）当时，．
对任意，有，
等价于在上的最大值与最小值之差,
据此分类讨论如下：
（ⅰ）当，即时，，与题设矛盾；
（ⅱ）当，即时，
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恒成立；
（ⅲ）当，即时，
恒成立；
综上可知，．
6．（ 2025汕头二模）设函数．其中．
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）已知函数有三个不同的零点，分别为，，，且，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）∵，
∵函数在处取得极值，
∴，解得．
（2）设
∴有两相异实根，，
∴，且，
∴（舍去），或．
若，则，
而，不合题意；
若，则对任意的，有，，
则，又，
∴在的最小值为0，
于是对任意的，恒成立的充要条件是
，解得，
综上，的取值范围是．