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第2课 命题与简易逻辑
1．（ 2025湛江二模）命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若“，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
2．（ 2025湖北高考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
3．（ 2025辽宁高考）已知命题:，，则是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】全称命题的否定形式为将“”改为“”，后面的加以否定．
4．（ 2025江门一模）下列结论，不正确的是（ ）
A．若命题：，，则命题：，．
B．若是假命题，是真命题，则命题与命题均为真命题．
C．方程（，是常数）表示双曲线的充要条件是．
D．若角的终边在直线上，且，则这样的角有4个．
【答案】A
【解析】命题：，．
5．（ 2025东莞二模）对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．② D．③
【答案】C
【解析】对于①，不是偶函数，故命题甲假，
对于③，在上不是减函数，故命题乙假．
6．（ 2025房山二模）有下列命题：
①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；
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②函数的图象关于点对称；
③关于的方程有且仅有一个实数根，则实数；
④已知命题：，都有，则是：，使得．
其中真命题的序号是_______．
【答案】③ ④
7．已知函数是上的增函数，，对命题“若，则”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解析】（1）)否命题：已知函数是上的增函数，，对命题“若，则”．
该命题是真命题，证明如下：
又∵在上是增函数．
∴否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函已知函数是上的增函数，，若，则.
真命题，可证明原命题为真来证明它．
∵在上是增函数．
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
8．已知函数．
（1）若的图象与轴恰有一个公共点，求的值；
（2）若方程至少有一正根，求的范围．
【解析】（1）当时，图象与轴恰有一个公共点，满足题意．
当时，，即．∴或．
（2）由（1）可知．
当方程有实根时，且．
若，则由，
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可知方程有一正一负两根，此时满足题意．
若,则时，
方程有两负根，不满足题意．
∴的范围是．