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第70课 圆锥曲线综合问题
1．（ 2025广州调研）设椭圆的右焦点为，直线：与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆：的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
【解析】（1）由题设知，，，
∴，解得．
∴椭圆的方程为．
（2）设圆：的圆心为，
则
从而求的最大值转化为求的最大值．
∵是椭圆上的任意一点，设，
∴，即．
∵点，
∴当时，取得最大值．
∴的最大值为．
2．（ 2025东城二模）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两直线，交椭圆于，，，四点，若，求证：为定值．
【解析】（1）由已知得，解得 ．
故所求椭圆方程为．
证明：（2）由（1）知，
当直线斜率不存在时，此时，．
当直线斜率存在时，设直线的方程为 ：．
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由 ，得 ．
由于，设，则有
同理．
综上，为定值．
3．（ 2025汕头一模）如图，已知椭圆（）的上顶点为，右焦点为，直线与圆：相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且，
求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）∵圆：
∴圆，
∴圆的圆心为，半径为．
∴直线的方程为，
即，
∵直线与圆相切，
∴椭圆的方程为．
（2）由，知，
∴直线与坐标轴不垂直，由，
可设直线的方程为，
则直线的方程为，
由，整理得：，
解得或，
∴的坐标为，
即．
将上式中的换成，得．
∴直线的方程为，
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化简得直线的方程为，
因此直线过定点．
4．（ 2025广东高考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）∵，∴，∴，
设是椭圆上任意一点，则，
当时，当时，有最大值，
当时，，不合题意，
∴椭圆的方程为．
（2）在中，，
当且仅当时，有最大值，
∵当时，点到直线的距离为，
∴，即，①
∵点在椭圆上，∴，②
由①②解得，，此时点．
5．（ 2025韶关质检）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点．
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【解析】（1）抛物线的焦点为，
准线方程为，
∵ 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∵椭圆截抛物线的准线所得弦长为，
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∴抛物线的准线与椭圆的交点为，∴ ， ②
由①、②解得或（舍去），从而．
∴椭圆的方程为．
（2）∵ 倾斜角为的直线过点，
∴ 直线的方程为，
由（1）知椭圆的另一个焦点为，
设与关于直线对称，
则得 ， 解得，即．
又满足，故点在抛物线上．
∴抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．
6．（ 2025广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线：有一个相同的焦点，直线：与抛物线只有一个公共点．
(1)求直线的方程；
(2)若椭圆经过直线上的点，当椭圆的长轴长取得最小值时，求椭圆的方程及点的坐标．
【解析】(1)由，得．
∵直线与抛物线只有一个公共点，
∴，解得．
∴直线的方程为．
(2)∵抛物线的焦点为，
∴椭圆的两个焦点为．
设点关于直线的对称点为，
则
解得 ∴点．
∴直线与直线：的交点为．
由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆的长轴长
其中当点与点重合时，上面不等式取等号．
∴当时，椭圆的长轴长取得最小值，其值为4．
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此时椭圆的方程为，
点的坐标为．