浙江省杭州市学军中学2025-2025学年高一上学期期末考试数学试卷.docx

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考试时间： 120分钟  总分： 150分  年级/班级： 高一〔1〕班
一、选择题〔每题5分，共20分〕
要求：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 知晓函数f(x) = x^3 - 3x，那么f(x)的图像的对称中心是〔 〕
A. (0,0) B. (1,0) C. (-1,0) D. (0,1)
例：f(0) = 0^3 - 3*0 = 0，f(1) = 1^3 - 3*1 = -2，f(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) = 2，故f(x)的图像关于点(0,0)对称。
2. 在等差数列{an}中，a1 = 1，公差d = 2，那么第10项an的值是〔 〕
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
例：由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1 = 1，d = 2，n = 10，得an = 1 + (10-1)*2 = 19。
3. 知晓函数f(x) = x^2 + 2x + 1，那么f(-1)的值是〔 〕
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例：将x = -1代入f(x) = x^2 + 2x + 1，得f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0。
4. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-2,3)，那么线段AB的长度是〔 〕
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例：由两点间的距离公式，得|AB| = √[(2 - (-2))^2 + (3 - 3)^2] = √[4^2 + 0^2] = 4。
5. 知晓函数f(x) = log2(x+1)，那么f(1)的值是〔 〕
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例：将x = 1代入f(x) = log2(x+1)，得f(1) = log2(1+1) = log2(2) = 1。
6. 在等比数列{bn}中，b1 = 1，公比q = 2，那么第5项bn的值是〔 〕
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
例：由等比数列的通项公式bn = b1 * q^(n-1)，代入b1 = 1，q = 2，n = 5，得bn = 1 * 2^(5-1) = 32。
二、填空题〔每题5分，共20分〕
要求：将答案填入空格内。
1. 假设a，b是方程x^2 - 2ax + b = 0的两个实数根，那么a+b的值是______。
例：由韦达定理知，a+b = 2a。
2. 假设函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,2)，那么a的值是______。
例：由顶点坐标公式知，顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)，代入得1 = -b/2a，2 = c - b^2/4a。
3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-2,3)，那么线段AB的中点坐标是______。
例：由中点坐标公式知，中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得中点坐标为(0,3)。
4. 知晓函数f(x) = log2(x+1)，那么f(3)的值是______。
例：将x = 3代入f(x) = log2(x+1)，得f(3) = log2(3+1) = log2(4) = 2。
5. 在等比数列{cn}中，c1 = 1，公比q = 3，那么第4项cn的值是______。
例：由等比数列的通项公式cn = c1 * q^(n-1)，代入c1 = 1，q = 3，n = 4，得cn = 1 * 3^(4-1) = 27。
6. 假设函数f(x) = x^2 - 4x + 4的图像的对称轴方程是x = 2，那么a的值是______。
例：由对称轴方程知，对称轴的x坐标为-b/2a，代入得2 = -(-4)/2a，解得a = 1。
三、解答题〔每题10分，共40分〕
要求：解答以下各题。
3. 知晓数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn = 3^n - 1。求第10项an的值。
例：当n = 1时，a1 = S1 = 3^1 - 1 = 2；当n ≥ 2时，an = Sn - Sn-1 = (3^n - 1) - (3^(n-1) - 1) = 2 * 3^(n-1)。
4. 在直角坐标系中，知晓点A(1,2)，点B(m,n)，且线段AB的中点坐标为(3,4)。求点B的坐标。
例：由中点坐标公式知，中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得(3,4) = ((1+m)/2, (2+n)/2)，解得m和n的值。
五、解答题〔每题10分，共20分〕
要求：解答以下各题。
5. 知晓函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值及取得最小值时的x值。
例：将函数f(x) = x^2 - 4x + 4写成完全平方形式，得f(x) = (x-2)^2，故函数的最小值为0，当x=2时取得最小值。
6. 在平面直角坐标系中，知晓直线l的方程为y = 2x - 1，点P(a,b)在直线l上。求点P的坐标，并判断点P是否在直线l上。
例：将点P的坐标(a,b)代入直线l的方程y = 2x - 1，得b = 2a - 1。如果等式成立，那么点P在直线l上，否那么不在。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1. B
解析：函数f(x) = x^3 - 3x的导数为f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x^2 = 1，解得x = ±1。当x < -1时，f'(x) > 0，函数单调递增；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增。故f(x)的图像关于点(1,0)对称，选B。
2. A
解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1 = 1，d = 2，n = 10，得an = 1 + (10-1)*2 = 19，选A。
3. A
解析：将x = -1代入f(x) = x^2 + 2x + 1，得f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0，选A。
4. D
解析：由两点间的距离公式，得|AB| = √[(2 - (-2))^2 + (3 - 3)^2] = √[4^2 + 0^2] = 4，选D。
5. B
解析：将x = 1代入f(x) = log2(x+1)，得f(1) = log2(1+1) = log2(2) = 1，选B。
6. A
解析：由等比数列的通项公式bn = b1 * q^(n-1)，代入b1 = 1，q = 2，n = 5，得bn = 1 * 2^(5-1) = 32，选A。
二、填空题
1. 2a
解析：由韦达定理知，方程x^2 - 2ax + b = 0的两个实数根a和b满足a+b = 2a。
2. 1
解析：由顶点坐标公式知，顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)，代入得1 = -b/2a，2 = c - b^2/4a，解得a = 1。
3. (0,3)
解析：由中点坐标公式知，中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得中点坐标为(0,3)。
4. 2
解析：将x = 3代入f(x) = log2(x+1)，得f(3) = log2(3+1) = log2(4) = 2。
5. 27
解析：由等比数列的通项公式cn = c1 * q^(n-1)，代入c1 = 1，q = 3，n = 4，得cn = 1 * 3^(4-1) = 27。
6. 1
解析：由对称轴方程知，对称轴的x坐标为-b/2a，代入得2 = -(-4)/2a，解得a = 1。
三、解答题
3. 第10项an的值为1534
解析：当n = 1时，a1 = S1 = 3^1 - 1 = 2；当n ≥ 2时，an = Sn - Sn-1 = (3^n - 1) - (3^(n-1) - 1) = 2 * 3^(n-1)。代入n = 10，得an = 2 * 3^(10-1) = 1534。
4. 点B的坐标为(5,6)
解析：由中点坐标公式知，中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得(3,4) = ((1+m)/2, (2+n)/2)，解得m = 5，n = 6，故点B的坐标为(5,6)。
5. 函数的最小值为0，取得最小值时的x值为2
解析：将函数f(x) = x^2 - 4x + 4写成完全平方形式，得f(x) = (x-2)^2，故函数的最小值为0，当x=2时取得最小值。
6. 点P的坐标为(a,b)，其中b = 2a - 1。点P在直线l上。
解析：将点P的坐标(a,b)代入直线l的方程y = 2x - 1，得b = 2a - 1。如果等式成立，那么点P在直线l上，否那么不在。由于b = 2a - 1，等式成立，故点P在直线l上。
本次试卷答案如下：
三、解答题
3. 第10项an的值为1534
解析：当n = 1时，a1 = S1 = 3^1 - 1 = 2；当n ≥ 2时，an = Sn - Sn-1 = (3^n - 1) - (3^(n-1) - 1) = 2 * 3^(n-1)。代入n = 10，得an = 2 * 3^(10-1) = 1534。
4. 点B的坐标为(5,6)
解析：由中点坐标公式知，中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，代入得(3,4) = ((1+m)/2, (2+n)/2)，解得m = 5，n = 6，故点B的坐标为(5,6)。
5. 函数的最小值为0，取得最小值时的x值为2
解析：将函数f(x) = x^2 - 4x + 4写成完全平方形式，得f(x) = (x-2)^2，故函数的最小值为0，当x=2时取得最小值。
6. 点P的坐标为(a,b)，其中b = 2a - 1。点P在直线l上。
解析：将点P的坐标(a,b)代入直线l的方程y = 2x - 1，得b = 2a - 1。如果等式成立，那么点P在直线l上，否那么不在。由于b = 2a - 1，等式成立，故点P在直线l上。
四、解答题
5. 知晓函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值及取得最小值时的x值。
解析：首先将函数f(x) = x^2 - 4x + 4写成完全平方形式，得f(x) = (x-2)^2。由于平方项总是非负的，函数的最小值为0。取得最小值时，平方项为0，即x-2 = 0，解得x = 2。因此，函数的最小值为0，取得最小值时的x值为2。
六、解答题
6. 在平面直角坐标系中，知晓直线l的方程为y = 2x - 1，点P(a,b)在直线l上。求点P的坐标，并判断点P是否在直线l上。
解析：由于点P在直线l上，其坐标(a,b)必须满足直线l的方程y = 2x - 1。将点P的坐标代入方程，得b = 2a - 1。如果这个等式成立，那么点P在直线l上。如果b不等于2a - 1，那么点P不在直线l上。在此题中，由于没有给出具体的a和b的值，我们无法判断点P是否在直线l上，但我们知道如果b = 2a - 1，
那么点P在直线l上。