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基础巩固
(x)=1x-x的图象关于( )
=-x对称
=x对称
答案:C
解析:∵f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.
,既是偶函数,又在区间(-∞,0)内单调递增的是( )
=x2 =2|x|
=log21|x| =sin x
答案:C
解析:函数y=x2在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=2|x|在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=log21|x|=-log2|x|是偶函数,且在区间(-∞,0)内是增函数;函数y=.
(x)=x4+1,x>0,cos2x,x≤0,则下列结论正确的是( )
(x)是偶函数 (x)是增函数
(x)是周期函数 (x)的值域为[-1,+∞)
答案:D
解析:因为y=x4+1(x>0)的值域为(1,+∞),且y=cos2x(x≤0)的值域为[-1,1],
所以f(x)的值域为(1,+∞)∪[-1,1]=[-1,+∞).
故选D.
=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )
C.-1 D.-5
答案:B
解析:令g(x)=f(x)+x,
由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.
又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.
(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
-x-1 -x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
答案:D
解析:∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),
即f(x)=-e-x+.
(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log1242)的值为( )
D.-2
答案:A
解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(log1242)=f(-log2252)=f-52=-f52.
又f(x+2)=f(x),
所以f52=f12=212-2=0.
所以f(log1242)=0.
(x)在区间(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )
(6)>f(7) (6)>f(9)
(7)>f(9) (7)>f(10)
答案:D
解析:由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.
又f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,故f(x)在区间(-∞,8)内为增函数.
可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).
(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:C
解析:因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.
作出f(x)的大致图象(实线部分),如图所示,
结合图象可知f(x)是R上的增函数.
由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1,选C.
=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= . 
答案:3
解析:因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x).
又f(-x)=f(x),
所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f12=0,则f(x)>0的解集为 . 
答案:x-12<x<0或x>12
解析:由奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f12=0,可知函数y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且f-12=(x)>0,可得x>12或-12<x<0.
(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 023)= . 
答案:2
解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.
又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),
所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,
所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.
故f(2023)=f(1)=2.
(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为 . 
答案:[-1,1)
解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],
∴-2≤1-m≤2,-2≤1-m2≤2,解得-1≤m≤3.①
又f(x)为奇函数,且在区间[-2,0]上单调递减,
∴f(x)在区间[-2,2]上单调递减,
∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).
∴1-m>m2-1,解得-2<m<1.②
综上①②可知,-1≤m<1,
即实数m的取值范围是[-1,1).
能力提升
(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则下列结论正确的是( )
()<f()<f(log25)
(log25)<f()<f()
(log25)<f()<f()
()<f(log25)<f()
答案:A
解析:∵对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,
又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.
∵0<<<log25,∴f()<f()<f(log25).
故选A.
=f(x-1)+x2是定义在R上的奇函数,若f(-2)=1,则f(0)=( )
A.-3 B.-2 C.-1
答案:A
解析:令g(x)=f(x-1)+x2.
因为g(x)是定义在R上的奇函数,
所以g(-1)=-g(1),即f(-2)+1=-[f(0)+1],
得f(0)=-3.
(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)==x+a与函数y=f(x)的图象在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )
-12
C.-14或-12 -14
答案:D
解析:因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.
因为当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期[0,2]上的图象如图所示.
显然a=0时,y=x与y=x2在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点.
另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.
由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.
故Δ=1+4a=0,即a=-14.
综上可知,a=0或a=-14.
(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=<a<34,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为 . 
答案:5
解析:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.
若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],
此时f(-x)=-3x.
由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.
由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).
设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.
因为12<a<34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.
(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2](x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= . 
答案:-8
解析:∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),
∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),
即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),
即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.
∵f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,在区间[2,6]上是减函数.
据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):
其图象也关于直线x=-6对称,
∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.
高考预测
(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
(-25)<f(11)<f(80) (80)<f(11)<f(-25)
(11)<f(80)<f(-25) (-25)<f(80)<f(11)
答案:D
解析:∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8).
∴函数f(x)是以8为周期的周期函数.
∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).
又f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数.
∴f(-1)<f(0)<f(1),
即f(-25)<f(80)<f(11).