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数学(理科)
考生须知：
本试卷满分120分，考试时间为120分钟.
答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.
请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
，则（ ）
A． B．
C． D．
（为虚数单位），（ ）
A． B． C． D．
（ ）
，则（ ）
A． B． C. D．
5. 若,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C. D．
6. 如图,在梯形中,,点在线段上,且,则（ ）
A． B．
C. D．
7. 已知正数满足,则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
8. 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,,可得的所有正约数之和为（ ）
A． B． C. D．
9. 已知是奇函数,且实数满足,则的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
10. 已知数列满足,且,则当取得最大值时,（ ）
A． B． C. D．
11. 在中,内角的对边分别为,且三边互不相等,若,则的面积是（ ）
A． B． C. D．
12. 已知定义在上的偶函数在区间上为减函数,,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最大值为 ．
14. 若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为 ．
15. 已知三棱锥中, ,且,则三棱锥的体积与三棱锥的外接球的体积之比的最大值为 ．
16. 已知函数在区间上的最大值与最小值的和为,则 ．
:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数);以原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系﹐直线的极坐标方程为
求直线和曲线的直角坐标方程;
设直线和曲线交于两点,直线的斜率分别为,求证：
中,其前项和为,且
求数列的通项公式;
设,求数列的前项和
19. 如图,在四棱锥中, ,且
求证:
若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知在四边形中,.
求的长及四边形的面积;
点为四边形所在平面上一点,若,求四边形面积的最大值及此时点的位置.
21. 在数列中,.
求证:数列是等比数列﹔
若数列的前n项和为,且对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.
.
讨论的单调区间;
当时,证明:
通榆一中高三第四次质量检测试题·数学(理科)
参考答案、提示及评分细则
1. 因为，
所以
故选
2. 因为
所以
故选
3. 记“”的解集为集合,则
所以是的充分不必要条件
故选
4.
故选
5. 当时, ,故选项不正确;当时,,
故选项不正确;因为,根据不等式性质知,
故选项正确;当时,,故选项不正确.
故选
6. 因为，
所以
7. 由题意，得，法一：
当且仅当，即时，的最小值为，故选
法二：由得
则
当且仅当，即时的最小值，
故选
8. 类比的所有正约数之和的方法,有的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,
故选
9. 因为是定义域为的奇函数,所以,可得,
此时
易知在上为减函数
又因为
所以
所以
故选
10. 因为
所以
所以数列是等差数列，
又
听以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以
所以
所以当时，取最大值
故选
11. 因为
所以
化简得
又
即
两式联立消去得,因为三边互不相等,解得（舍）或.
又
所以
故选
12. 函数的定义域为
由，得
所以函数关于对称，，
根据曲线关于直线和对称以及在区间上为减函数
可画出图象的示意图,如图所示;考查函数
可化为
如图所示，当时，曲线与无公共点
当时，曲线与曲线只有一个交点
当时，曲线与曲线有两个交点
当时，曲线与曲线无公共点
综上，当时，曲线与曲线有两个交点.
故选
13. 函数
时,
函数恒过定点
点在直线上,
即.
根据基本不等式,得,
即.
当且仅当，时取等号,
故的最大值为
14. 画出可行域(如图阴影部分),利用图形可得,
当直线过点时,
取最小值,最小值为；
当直线过点时,取最大值,最大值为
l5. 设,
则.
所以
取的中点连接
由于,
所以、
故点为三棱锥的外接球的球心,外接球的半径为.
所以当三棱锥的体积最大时,三棱锥的体积与三棱锥的外接球的体积之比最大.
当平面时,三棱锥的体积最大,
此时,
所以三棱锥
16. 令，则且
所以原函数变为
设
则
所以，
所以
因为是上的奇函数,
所以
所以
所以
:由,
得
则直线的直角坐标方程为
曲线的直角坐标方程为
证明:将代入,
得
由直线和曲线交于两点且,
得
设方程的两根分别为,
则;
而以表示曲线上的点与原点连线的斜率,
所以，
所以
又直线的斜率为,
所以
18. 解:设等差数列的公差为,由题意,得
解得
所以数列的通项公式是
由知
则
式两边同乘以,得
，得
所以
19. 证明:如图,取的中点,连接
因为且为的中点.
所以
因为，
所以且,