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五年高考练
考点1 双曲线的标准方程及其应用
1.(2018浙江,2,4分,)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是( )
A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)
2.(2016课标全国Ⅰ,5,5分,)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)
考点2 双曲线的几何性质
3.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分,)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
4.(2019浙江,2,4分,)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
5.(2019课标全国Ⅲ,10,5分,)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
6.(2018课标全国Ⅲ,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b22作C的一条渐近线的垂线,|PF1|=6|OP|,则C的离心率为( )
7.(2019课标全国Ⅱ,11,5分,)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
8.(2018课标全国Ⅰ,11,5分,)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,△OMN为直角三角形,则|MN|=( )
9.(2019江苏,7,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 . 
10.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分,)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= . 
11.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,∠MAN=60°,则C的离心率为 . 
12.(2019课标全国Ⅰ,16,5分,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为 . 
13.(2018北京,14,5分,)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 . 
考点3 直线与双曲线的位置关系
14.(2018天津,7,5分,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
-y212=1 -y24=1
-y29=1 -y23=1
三年模拟练
应用实践
1.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中,)过点(2,-2)且与双曲线x22-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )
-x24=1 -y22=1
-x22=1 -y24=1
2.(2020四川成都高二上期末,)若m为实数,则“1<m<2”是“曲线C:x2m+y2m-2=1表示双曲线”的( )
3.(2020河北保定高二上期末,)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线上存在一点P,使∠PF2F1=π2,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率为( )
4.(2020河北石家庄二中高二上期中,)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)是等轴双曲线,点P为其右支上一动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于m恒成立,则实数m的最大值为 . 
5.(2020河南濮阳高二上期末,)已知F为双曲线C:x24-y29=1的左焦点,P,,点A(13,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 . 
6.(2020湖北省实验学校、武汉一中等六校高二上期末联考,)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥FB,设∠ABF=θ,且θ∈π12,π4,则双曲线C离心率的取值范围是 . 
7.(2020四川雅安高二上期末检测,)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.
迁移创新
8.(2020安徽六安一中高三上模拟,)双曲线C:ax2-by2=1(a>0,b>0)的虚轴长为1,两条渐近线方程为y=±3x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图1,双曲线C上有两个点D、E,直线OD和OE的斜率之积为1,判断1OE2+1OD2是不是定值;
(3)如图2,经过点P(t,0)t>aa的直线n与双曲线C有两个交点M,N,直线n的倾斜角是θ,θ∉π2,π3,2π3,是否存在直线l0:x=x0其中x0<aa,使得dMdN=|PM||PN|恒成立(其中dM,dN分别是点M,N到l0的距离)?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
五年高考练
∵a2=3,b2=1,∴c=a2+b2=2.
又∵焦点在x轴上,
∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
∴m2+n>0,3m2-n>0,m2+n+3m2-n=4,①
或m2+n<0,3m2-n<0,-(3m2-n)-(m2+n)=4,②
由①得m2=1,∴n∈(-1,3).②.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
∴S△APF=12×3×1=.
∵渐近线方程为y=±x,∴a=b,
∴c=2a,∴e=ca=2,
故选C.
由双曲线的方程为x24-y22=1,知a=2,b=2,故c=a2+b2=6,渐近线的方程为y=±22x.
不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,
∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,
∴|OQ|=62.
令∠POF=θ,由tanθ=22得|PQ|=|OQ|·tanθ=62×22=32.
∴△PFO的面积S=12|OF|·|PQ|=12×6×32=.
点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=bca-01+ba2=b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|=6a.
在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=|PF2||OF2|=bc,
在△F1F2P中,
cos∠PF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=b2+4c2-6a22b·2c,
所以bc=b2+4c2-6a24bc⇒3b2=4c2-6a2,
则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=.
如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点c2,0.
∴Pc2,c2.
又∵|OP|=a,∴a2=c22+c22=c22,
∴ca2=2,∴e=ca=.
由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=±33x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,
∴|OM|=3,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=.
y=±2x
解析 由双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),得9-16b2=1,
解得b=±2,又b>0,所以b=2,
易知双曲线的焦点在x轴上,
故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
5
解析 由题意可得3a=35,
所以a=5.
233
解析 解法一:不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,△AMN为等边三角形,且|AM|=b,
则A点到渐近线y=bax的距离为32b,又将y=bax变形为一般形式为bx-ay=0,则A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d=|ba|a2+b2=|ab|c,所以|ab|c=32b,即ac=32,
所以双曲线的离心率e=ca=233.
解法二:不妨设点M、N在渐近线y=bax上,如图,作AC垂直于MN,垂足为C,
由题意知点A的坐标为(a,0),则|AC|=bb2a2+1=aba2+b2,在△ACN中,∠CAN=12∠MAN=30°,|AN|=b,所以cos∠CAN=cos30°=|AC||AN|=aba2+b2b=aa2+b2=ac=32,所以离心率e=ca=233.
2
解析 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,
∵F1B·F2B=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,
不妨设点B在第一象限,由y=bax,x2+y2=c2,a2+b2=c2,x>0得点B(a,b),
∵F1A=AB,∴点A为线段F1B的中点,
∴Aa-c2,b2,将其代入y=-bax得b2=-ba×a-c2,解得c=2a,
故e=ca=2.
3-1;2
解析 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=3x,
∴nm==k,则n=3k,则双曲线N的离心率e2=k2+(3k)2k=2.
连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.
设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=3c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(3+1)c=2a,∴椭圆M的离心率e1=ca=23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=3-1.
c2,32c,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组c22a2+32c2b2=1,a2-b2=c2,解得ca=3-1ca=3+1舍去.
∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+b2a2=4,∴b2a2=3,即b2=3a2,
∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵b2a2=3,∴渐近线方程为y=±3x,
则点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又∵d1+d2=6,
∴23-32a+23+32a=6,解得a=3,∴b2=9.∴双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
三年模拟练
因为所求双曲线与双曲线x22-y2=1有相同渐近线,
所以设其方程为x22-y2=t(t≠0),
又点(2,-2)在双曲线上,
所以222-(-2)2=t,解得t=-2,
则双曲线方程为y22-x24=1.
故选A.
若方程x2m+y2m-2=1表示双曲线,
则m(m-2)<0,得0<m<2.
由1<m<2可以得到0<m<2,故充分性成立;
由0<m<2推不出1<m<2,故必要性不成立,
则“1<m<2”是“曲线C:x2m+y2m-2=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.
因为点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,且|PF1|=4|PF2|,
所以|PF1|-|PF2|=2a,