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高一学年第二模块数学考试试卷
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B. 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C. 圆柱的上底面下底面互相平行
D. 五棱锥只有五条棱
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱、圆锥和圆台的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，根据圆台的结构特征，通过圆台侧面上一点有且只有一条母线，所以不正确；
B中，根据圆锥的定义，直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，所以不正确；
C中，根据圆柱的结构特征，可知圆柱的上底面下底面互相平行，所以是正确的；
D中，根据棱锥的结构特征，可得五棱锥只有五条侧棱，所以不正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥和圆台的集合结构特征的判定及应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答的关键，属于基础题.
2. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用的特殊值，代入选项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项.
【详解】，，，，，，，，本小题选C.
【点睛】本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，，对于对于选择题或者填空题来说，，或者指数函数单调性、，还需要借助奇偶性，结合图像来求解.
3. 已知一个水平放置的平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD的面积为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据斜二测画法规则，结合面积公式即可求解.
【详解】平面四边形ABCD的直观图是面积为2的正方形，
所以其边长为
由直观图的画法可知原图形是平行四边形，底边长为，高为，
所以面积为，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关根据直观图求原图形的面积的问题，涉及到的知识点有斜二测画法，属于基础题目.
4. 已知是公差为2的等差数列，且，则（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合等差数列项之间的关系，建立等量关系式，求得的值，进而求得结果.
【详解】是公差为的等差数列，，
，即，
，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题目.
5. 在ΔABC中，若，则ΔABC是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，所以，因此，又因为和是三角形内角，所以或者，即或，.
考点：1、二倍角公式；2、诱导公式.
6. 已知m，n为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若直线m用与平面内的无数条直线垂直，则.
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
对各个命题逐个分析，结合面面平行的性质，线面平行的判定，以及线面垂直的判定和性质，得到结果.
【详解】①若，，则可能，也有可能，所以①错误；
②若，，，则，这是面面平行的性质定理，所以②正确；
③若，则垂直于内的任意直线，，则，所以③正确；
④若直线m用与平面内的无数条直线垂直，而这些直线都互相平行，不能确定，所以④错误.
所以正确命题有②③，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定和性质，属于简单题目.
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体可知，该几何体为底面边长为2，高为1的正四棱锥，即可根据棱锥的体积公式求出结果．
【详解】由三视图可知，该几何体为底面边长为2，棱锥高为1的正四棱锥，
所以．
故选：A．
【点睛】该题主要考查由三视图还原几何体，并求该几何体的体积，涉及棱锥的体积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题目．
8. 函数的最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
将变形为，然后根据基本不等式求解出的最小值即可.
【详解】因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件，属于基础题目.
9. 已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
圆锥的母线就是轴截面边长，也等于底面直径，由此可计算表面积．
【详解】由题意底面半径，母线长为，
表面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查圆锥的表面积，掌握轴截面是圆锥的关系是解题关键．
10. 在正方体中，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由等体积法有,可求出答案.
【详解】设点到平面的距离是,由等体积法,如图，
因为,
又
所以，
解得：
故选：A
【点睛】本题主要考查点到面的距离，考查了三棱锥的体积，等体积法，属于中档题.
11. 已知A，B，C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为（ ）
A. 36 B. 72 C. 144 D. 169
【答案】C
【解析】
【分析】
由三点共线得出，然后利用“1”的代换用基本不等式求得最小值．
【详解】由已知，，
因共线，即共线，所以存在实数使得，
即，
又不共线．
所以，所以，即，
所以，当且仅当
，即时等号成立．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量共线定理，考查用基本不等式求最值．应用基本不等式时注意“1”的代换的应用．
12. 锐角△中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意，结合余弦定理得到，利用正弦定理转化求得，根据角的范围，得到，根据三角形是锐角三角形，求得，结合条件，将式子化为，从而求得结果.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得：，
所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，
即，
因为△是锐角三角形，所以，
所以，即，
所以，解得，
则，
因为，所以，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，正弦型函数在给定区间上的值域，属于中档题目.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，.
13. 已知，满足，，的夹角为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用向量数量积的定义得到答案.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题目.
14. 在三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
分析】
由已知中平面， ，可得：三棱锥外接球等同于以 为长宽高的正方体的外接球，进而得到答案．
【详解】∵平面，，
故三棱锥外接球等同于以 为长宽高的正方体的外接球，
故三棱锥外接球的表面积 ，
故答案为．
【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，根据已知借助正方体模型求出球的半径，是解答的关键．属于中档题．
15. 空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成角为，设，，则过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的面积为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】
作出截面四边形，再利用四边形的面积公式，即可得答案；
【详解】取BC,CD,AD的中点M,N,P，连结EM,MN，NP，EP，
，则平行四边形为所求截面，
或为异面直线AC与BD所成的角，
或，，
因为，，
截面四边形MNPE的面积，
故答案为：6.
【点睛】本题考查空间中截面的面积、异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算求解能力.
16. 已知数列的前n项和为，点在的图像上，，数列通项为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
把数列递推式中换为，整理得到是等差数列，公差，然后由等差数列的通项公式得答案．
【详解】由题意可得：
∴，
∴．两边除以，并移向得出，
是等差数列，公差，
．
，
故．
当时，．
当时，不符合上式．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，、证明过程或演算步骤.
17. 已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.