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数形结合思想专题复习
授课、制作：张明芬
数学是研究现实生活中空间形式和数量关系的科学，所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。纵观历届高考题，数形结合主要体现在“以形助数”方面。这种数学思想在高考经常考察。
年份
2001
2002
2003
题数
15
15
14
权重
60%
62%
63%
2001-2003年高考试题中对数形结合的考查统计表
数形结合在解题中作用
一、求解方程
二、求解不等式
三、求最值、值域
四、求证不等式
1、集合M={(x,y)|x=3cosθ,y=3sinθ,0 θ π },
N={ (x,y)| y= x + b},若M∩N=φ 则b满 足 。
分析：点集M表示的图形是半圆，点
集N表示为直线，它随b值变化位置不
断变化。本题即转化为b取何值时两图
形没有公共点,由图形变化可得结论。
x
y
o
y=x+b
b1
b2
故有：b>b2或b<b1
即b>3 或b<-3
问题：b取何值时M∩N分别
有两个子集；四个子集。
b3
L1
L2
L3
2、关于 x 的方程 = - +2x+a，
（a>0且a 1)解的个数是（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 随a值变化而变化
分析：构造两个函数y= 与y= - +2x+a
由两个函数交点个数求得方程解的个数
（1）a >1时
x
y
o
（2）0<a<1时
x
y
o
（1，1+a）
（1，a）
（1，1+a）
（1，a）
C
3、设函数 其中 a >0 解不等式f (x)≤1
分析：要解不等式 ≤1
即 ≤1+ax
进而转化为y= 与y=1+ax两函
数图象关系。只要求使y=1+ax图象在
y= 上方的自变量x取值范围。
3．设函数 ，
其中 a >0．解不等式f (x)≤1
x
y
o
y= ax+1
当a ≥ 1时，x≥0；
当a< 1时，0≤x≤x0
x0
即：0≤x≤
5．若函数 在区间[ a , b ]
上的最小值为2a，最大值为2b，求a , b ．
x
y
o
a
b
b
a
a
b
b
a