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1.（ 2025东城一模·理）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”. 某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有:
（A）6种 （B）8种 （C）10种 （D）12种
D
2.（ 2025丰台一模·理）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为
(A)
(B)
(C)
(D)
B
3.（ 2025石景山一模·理）现有种不同颜色对如图所示的四个部分进行
涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，
则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4.（ 2025延庆一模·理）无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和6名女教师中，选取5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 ．（结果用数值表示）
5.（ 2025西城一模·理）安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）
6.（ 2025房山一模·理）四大名著是中国文学史上的经典作品，“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 .
6.
7.（ 2025海淀一模·理）一次数学会议中，有五位教师来自三所学校，其中学校有位，学校有位，学校有位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_______种不同的站队方法.
8.（ 2025延庆一模·理）（本小题满分13分）
某车险的基本保费为（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
2
随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
400
270
200
80
40
10
（Ⅰ）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求的估计值；
（Ⅱ）某公司有三辆汽车,基本保费均为,根据随机调查表的出险情况,记为三辆车中一年内出险的车辆个数,写出的分布列；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
8.（Ⅰ）事件A的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，所以P（A）的估计值为： ………3分
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3， ………4分
由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为，
出险的概率为，则 ………5分
，
， ………9分
所以的分布列为：
0
1
2
3
………10分
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估值为：
………13分
9.（ 2025西城一模·理）（本小题满分13分）
某企业 2025年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
9.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 ，
被该企业录用的人数为 ，
所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．[ 3分]
（Ⅱ）X可能的取值为． [ 4分]
因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2 [ 5分]
所以 ； ；
． [ 8分]
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
P
． [10分]
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分]
10.（ 2025石景山一模·理）（本小题共13分）
抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内
20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x＜40
2
B
40≤x＜80
9
C
80≤x＜120
m
D
120≤x＜160
3
E
160≤x＜200
n
（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）
（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．
10.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）m=4，n=2，B； ………………… 3分
（Ⅱ）<，<； ………………… 6分
（Ⅲ）的可能取值为0，30，140，170，
0
30
140
170
的数学期望为．
………………… 13分
11.（ 2025海淀一模·理）（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播. 科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
54%
39%
46%
54%
56%
67%
64%
66%
78%
72%
72%
59%
乙地
38%
34%
31%
42%
54%
66%
69%
65%
62%
70%
a%
b%
（Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；
（Ⅲ）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值.（只需写出结论）
11.（本题满分13分）
（Ⅰ）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用表示事件抽取的月份为第月，则
共12个基本事件，
共6个基本事件，
所以，. 4分
（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故所有可能的取值为，，.
，，
随机变量的分布列为
0
1
2
（Ⅲ）的最大值为，最小值为. 13分
12.（ 2025房山一模·理）（本小题分）
年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过天，重度污染的天数仅有天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间内，将数据按区间列表如下：
分组
频数
频率
合计
（Ⅰ）求表中，的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；
（Ⅱ）从用气量在区间和区间的用户中任选户，进行燃气使用的满意度调查，求这户用气量处于不同区间的概率；
（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了户，用表示用气量在区间内的户数，求的分布列和期望．
：（Ⅰ），
估计该村每户平均用气量为
…………4分
（Ⅱ）设“这3户用气量处于不同区间”，则
…………7分
（Ⅲ）的可能取值为，，，，则
所以的分布列为
或，所以 …………13分
13.（ 2025丰台一模·理）（本小题共13分）
某地区工会利用 “健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分)，每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各随机抽取名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为，，，，，，，，九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表（图、表如下所示）．