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数值分析
朱立永
第三章 矩阵特征值与特征向量的计算
第八讲 矩阵特征值与特征向量的计算（2） ----Jacobi方法和QR方法
01
幂法与反幂法
02
Jacobi法
03
QR方法
常用的求特征值的方法有
幂法可以用来求矩阵模最大的特征值和特征向量；
反幂法可以用来求矩阵模最小的特征值和特征向量；
理论上可以用带原点平移的反幂法求得矩阵所有特征值和特征向量；
在用幂法与反幂法求矩阵特征值和特征向量时，初始值u0的第一个分量不要为零；
当|λ1|=| λ2 |，但λ1= -λ2 时，直接幂法失败；当|λn-1|=| λn |，但λn-1= -λn 时，直接反幂法失败；
当是多重特征值时，幂法和反幂法仍有效。
上次课内容回顾
只适用于实对称方阵
1
可以求出所有特征值和特征向量
2
Jacobi法
如 A 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 Q ，使之相似于一个对角矩阵，而该对角矩阵的对角元正是 A 的特征值。
01
一个矩阵左乘一个正交矩阵或右乘一个正交矩阵，其F范数(Frobenius)不变。
02
矩阵的两个重要的基本性质：
Jacobi法基于的原理是：对一个实对称矩阵 A一定存在一个正交矩阵 R (R-1=RT)使得 RTAR=D，其中 D＝diag[d1, d2, …,dn]。我们有 D 的对角元素即为 A 的特征值，对应的 R 的行向量即为相应的特征向量 。
思路：通过一系列的旋转变换（正交变换）把A中非对角线上的非零元变为零 。
Jacobi法的基本原理
01
( p )
02
( q )
下面的矩阵是一个 n 阶正交矩阵：
旋转变换 Upq其元素特点：
01
如果apq≠0那么我们可以选取一个φ
02
(A(1) 仍为实对称矩阵）使得
03
A(1) 的元素为：
01
选取φ满足
02
我们就有
03