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一、仔细选一选
1．已知2：x=3：9，则x=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．已知sinA=，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为（ ）
A．15 B．30 C． D．15π
4．下列事件哪个是必然事件（ ）
A．任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1
C．连结⊙O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦
D．在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似
5．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE=2，EF=AB=3，则BC长为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＜0 B．ab＞0 C．ac＞0 D．2a+b＞0
7．如图，在O为△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，且===，则=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
9．如图，将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH，CI，如果正方形ABCD的边长是2，则下列结论：①△GBC是等边三角形；②△IGH的面积是7﹣12；③tan∠BHA=2+；④GE=2，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．
二、认真填一填
11．已知△ABC∽△DEF，=3，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
12．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠D的度数为 ．
13．九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计如表：
每辆私家车乘客的数目
1
2
3
4
5
私家车的数目
58
27
8
4
3
根据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率是 ．
14．抛物线y=3（x﹣2）2+1绕抛物线的顶点旋转180°所得的抛物线的解析式是 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，且点B是的中点，AB交CD于E，若∠C=21°，则∠ADC= ．
16．如图，一抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点，过OD的中点E，作EF⊥x轴于点F，G为x轴上一动点，M为抛物线上一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，点G的坐标为 ．
三、全面答一答
17．（1）2sin30°+tan60°﹣cos45°
（2）若=，求的值．
18．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于哪类事件？摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪类事件？
（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两个球有几种不同的可能？请用画树状图或列表表示，这样先后摸得的两个球刚好是一红一白的概率是多少？
19．图1中是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图2，，，踏板静止时从侧面看与AE上点B重合，，当踏板旋转到C处时，测得∠CAB=42°，求此时点C距离地面EF的高度．（）
（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）
20．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．
（1）求铅球所经过的路线的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）求铅球落地点离运动员有多远（）？
21．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，且AE=，EB=3，的度数为120°．解答问题：
（1）请用直尺和圆规作出圆心O（不写作法，保留痕迹）
（2）求出⊙O的半径；
（3）求出弦CD的长度．
22．如图1，已知点P是线段AB上一动点（不与A，B重合），AB=10，在线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，连结AD和BC，它们相交于点Q，AD与PC交于点M．
（1）求证：△APD≌△CPB，△ACQ∽△BCA；
（2）若△APC和△BPD不是等边三角形，如图2，只满足∠APC=∠BPD，PA=kPC，PD=kPB（k＞0，k为实数），E是AB中点，F是AC中点，G是BD中点，连结EF，EG，求的值（用含k的式子表示）；
（3）请直接写出在图1中，经过P，C，D三点的圆的半径的最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，tan∠CAB=3
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；
（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．
2025- 2025学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选
1．已知2：x=3：9，则x=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据内项之积等于外项之积转化为方程即可解决问题．
【解答】解：∵2：x=3：9，
∴3x=18，
∴x=6，
故选D．
【点评】本题考查比例的性质，记住两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
2．已知sinA=，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而求出答案．
【解答】解：∵sinA=，
∴∠A的度数为：30°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为（ ）
A．15 B．30 C． D．15π
【分析】根据弧长公式l=进行解答．
【解答】解：设该圆弧的半径等于rcm，则
10π=，
解得 r=30．
故答案为30．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
4．下列事件哪个是必然事件（ ）
A．任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1
C．连结⊙O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦
D．在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上是随机事件；
B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1是随机事件；
C、连结⊙O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦是必然事件；
D、在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，DE=2，EF=AB=3，则BC长为（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，
∵DE=2，EF=AB=3，
∴=，
∴BC=，
故选A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
6．一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＜0 B．ab＞0 C．ac＞0 D．2a+b＞0
【分析】根据二次函数开口向上判断出a＞0，再根据对称轴判断出b＞0，再根据与y轴的交点判断出c＜0；根据对称轴列出不等式求解即可得到2a+b＞0．
【解答】解：∵二次函数开口向上，
∴a＞0，
∴A错误；
∵对称轴在y轴左边，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∴B错误；
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
∴C错误；
∵
∴，
∵a＞0，
∴b＞﹣2a，
∴b+2a＞0
∴D正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点．
7．如图，在O为△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，且===，则=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件得到EF∥BC，推出△EOF∽△BOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵==，
∴EF∥BC，
∴△EOF∽△BOC，
∴=，
∵=，
∴=，
∴=，
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．