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学科教师辅导教案
学员姓名
年 级
高三
辅导科目
数 学
授课老师
课时数
2h
第 次课
授课日期及时段
2025年 月 日 ： — ：
历年高考试题汇编（文）——导数及应用
1．（ 2025大纲理）曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ）
A． B． C．2 D．1
2.( 2025新标2理) 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.( 2025浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是( B )
4．（ 2025陕西文）设函数f（x）=+lnx 则 （ D ）
A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
5.( 2025新标2文) 函数在处导数存在，若：是的极值点，则
A．是的充分必要条件 B. 是的充分条件，但不是的必要条件
C. 是的必要条件，但不是的充分条件 D. 既不是的充分条件，也不是的必要条件
【答案】C
6．（ 2025广东理）曲线在点处的切线方程为___________________.
【答案】2x-y+1=0
7．（ 2025广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则
【答案】-1
8．（ 2025广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则 ．
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【答案】
9．( 2025广东文)曲线在点处的切线方程为 .
【答案】5x+y+2=0
10．（ 2025江西文）若曲线y=+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。
【答案】2
11.( 2025新标文) 曲线在点（1,1）处的切线方程为________
12．（ 2025江西理）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.
【简解】设P(x,e-x)，=-=-2,解得x=-ln2，答案(-ln2,2)
13．（ 2025江西文）若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
【简解】设P(x,xlnx),=1+lnx=2,x=e，答案(e,e)
14．（ 2025辽宁文）函数y=x2㏑x的单调递减区间为（ B ）
（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）
15．( 2025新标2文) 若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
16. ( 2025新标1文) 函数在的图象大致为（ ）
【简解】==-2cos2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π/3<x<π/3；
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=4cosxsinx+sinx，在x=0处为拐点。选C
17.（ 2025年新课标2文）已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= 8 ．
18.（ 2025年陕西文）函数在其极值点处的切线方程为____________.
19.（ 2025年天津文）已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 3 ．
20、( 2025·全国Ⅰ文，14)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为___x－y＋1＝．
21、( 2025·浙江，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )
22、（ 2025年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为_____3_____.
23、（ 2025年全国III卷高考）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________________.
24．（ 2025福建理）已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
【解析】(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率k＝2a＝0，
所以a＝0，即f(x)＝ex－ex．此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1．
当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
25.( 2025新标1文) 已知函数，曲线在点处切线方程为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值。
【简解】 (1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x. f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
26.( 2025新标1文) 设函数，曲线处的切线斜率为0
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。求b;⑵若存在使得，求a的取值范围。
【解析】（I），由题设知，解得.
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，
∴=．
①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，
解得；
②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，
而=+，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=，成立．
综上可得：a的取值范围是．
27.( 2025新标2理) 已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.
【解析】(1)f(x)＝ex－ln(x＋m)⇒f′(x)＝ex－⇒f′(0)＝e0－＝0⇒m＝1，定义域为{x|x>－1}，
f′(x)＝ex－＝，显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
28．（ 2025北京文）已知函数
（1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。
（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。
【解析】（1），因为曲线在点处的切线为
所以，即，解得
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（2）因为，所以当时，单调递增；当时，单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是
29．（ 2025山东）已知函数为常数，e=…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求的单调区间；
【解析】(I)，由已知，，∴.
(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.
30.( 2025·天津文，10)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为_____1___．
31.（ 2025年新课标2文）已知.
（I）讨论的单调性；（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.
32.( 2025·全国Ⅰ文，21)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
1．解 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
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①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.
②若a>0，则由(1)知，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a，
从而当且仅当－a2ln a≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.
③若a<0，则由(1)知，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f ＝a2，从而当且仅当a2≥0，即a≥－2时f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[－2，1]．
33、（ 2025年北京高考）设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
解：（I）由，得．因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，，所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
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所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
34、（ 2025年全国II卷高考） 已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
解析：（I），
，
所以曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
令，则，
（i）当，时， ，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减，，的取值范围是
35．( 2025·北京文，20)已知函数f(x)＝excos x－x.
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(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
4．解 (1)因为f(x)＝excos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间上单调递减，
所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间上单调递减，
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
36．( 2025·山东文，20)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
6．解 (1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
37、( 2025新课标1)已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.
解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分
(1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。 …3分
(2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).
①若a=，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增。
②若a>，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。
③若a<，ln(-2a)>1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减；
在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。…7分
(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求。 …8分
(2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增。
最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b<ln，eb<.
从而f(b)>，所以f(x)有两个零点. …10分
(3)当a<0时，在(-∞,1]上，f(x)<0恒成立；若a≥，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，不存在
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两个零点。若a<，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存在两个零点。
综上a的取值范围是(0,1). …12分
38、( 2025年新课标1卷)设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时.
解：（I）的定义域为.
当≤0时，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，
当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点. ……6分
（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，＜0；
当时，＞0.
故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为. 由于，所以.
故当时，. ……12分