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2025- 2025学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
1．必然事件的概率是（ ）
A． 0 B． C． 1 D． 不能确定
2．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A． ||=|| B． = C． +≠0 D． ||+||=0
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D不可能是（ ）
A． 3：7：5：5 B． 5：4：5：4 C． 4：5：6：3 D． 8：1：4：5
5．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A． a B． a C． a D． a
6．下列命题中，假命题有（ ）
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；
③一组对角互补的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形是轴对称图形．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
7．如图所示，函数y=mx+m的图象可能是（ ）
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A． B． C． D．
8．甲、乙两同学同时从学校出发，步行10千米到某博物馆，已知甲每小时比乙多走1千米，结果乙比甲晚20分钟．设乙每小时走x千米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
9．方程2x3﹣16=0的根是 ．
10．在分式方程+=1中，令y=，则原方程可化为关于y的方程是 ．
11．方程的解是 ．
12．直线y=﹣2x﹣6在y轴上的截距是 ．
13．过点（﹣1，3）且及直线y=﹣x平行的直线表达式为 ．
14．在平行四边形ABCD中，若= （用和表示）．
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15．由四条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为 ．
16．若十边形的每个内角都相等，则该十边形每个内角度数为 ．
17．顺次连结三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是 ．
18．已知梯形的中位线长为10cm，高为5cm，则此梯形的面积为 cm2．
19．如果▱ABCD成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
20．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于 ．
三、解答题（本大题共5题，满分30分）
21．解关于x的方程：（a﹣1）x=3．
22．解方程：=1．
23．解方程组：．
24．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F，求证：四边形AECF的菱形．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．
四、综合题（本大题共2题，26题8分，27题10分，满分18分）
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26．如图，，顶端A靠在墙AC上，，梯子顶端A沿着墙以1米/秒的速度向下滑行，t秒后梯子顶端A滑行到E点，同时B沿地面滑行到D点，请分别以AC及BC所在的直线为坐标轴（以1米为长度单位）建立直角坐标系．
（1）试直接写出E点的坐标（用t的代数式表示）；
（2）当BD=，
①求梯子顶端A滑行道E点所用的时间；
②求直线ED的函数解析式．
27．（10分）（ 2025春•长宁区期末）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不及A，B点重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG=x，S△GEF=y．
（1）求y及x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）点G在运动过程总，能否使△GEF成为直角三角形？若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；
（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形？若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明理由．
2025- 2025学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷
参考答案及试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分）
1．必然事件的概率是（ ）
A． 0 B． C． 1 D． 不能确定
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考点： 概率的意义．
分析： 根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件即可解答．
解答： 解：∵必然事件就是一定发生的事件，
∴必然事件发生的概率是1．
故选：C．
点评： 本题主要考查必然事件的概率；事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
考点： 无理方程．
分析： 先变形得出=k的形式，再根据二次根式的性质逐个进行判断即可．
解答： 解：A、x2+1=0，
此时方程无解，故本选项错误；
B、∵+=0，
∵算术平方根是非负数，
∴此时方程无解，故本选项错误；
C、∵=2，
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∴x+1=4，
∴x=3，
故本选项正确；
D、∵+=2，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，
解得：x=1，
代入得：0+0=2，
此时不成立，故本选项错误；
故选C．
点评： 本题考查了无理方程的应用，能根据二次根式的性质进行判断是解此题的关键．
3．若是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A． ||=|| B． = C． +≠0 D． ||+||=0
考点： *平面向量．
分析： 长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果．
解答： 解：∵是非零向量，
故选A．
点评： 本题考查的是非零向量的长度及方向的性质．
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D不可能是（ ）
A． 3：7：5：5 B． 5：4：5：4 C． 4：5：6：3 D． 8：1：4：5
考点： 梯形．
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分析： 由梯形的性质得出同旁内角互补，得出A、C、D有可能；由平行四边形的判定方法得出B不可能．
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，
即∠A+∠B=∠C+∠D，
∴A、C、D选项有可能；
B选项不可能；
∵若∠A：∠B：∠C：∠D=5：4：5：4，
则∠A=∠C，∠B=∠D，
则四边形ABCD是平行四边形，
∴B不可能．
故选：B．
点评： 本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定方法；熟练掌握梯形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A． a B． a C． a D． a
考点： 菱形的性质．
分析： 由四边形ABCD是菱形，即可求得△ABC是等边三角形，则可求得菱形较短的对角线长等于菱形的边长．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
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∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=a．
∴菱形较短的对角线长等于a．
故选C．
点评： 此题考查了菱形的性质．注意菱形的四条边都相等，注意数形结合思想的应用．
6．下列命题中，假命题有（ ）
①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；
③一组对角互补的梯形是等腰梯形；
④等腰梯形是轴对称图形．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 命题及定理．
分析： 根据等腰梯形的判定方法对①进行判断；根据等腰梯形的定义对②进行判断；根据等腰梯形的性质对③④进行判断．
解答： 解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，所以①错误；
一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，所以②错误；
一组对角互补的梯形是等腰梯形，所以③正确；
等腰梯形是轴对称图形，所以④正确．
故选B．
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点评： 本题考查了命题及定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．如图所示，函数y=mx+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 一次函数的图象．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意，当m≠0时，函数y=mx+m是一次函数，结合一次函数的性质，分m＞0及m＜0两种情况讨论，可得答案．
解答： 解：根据题意，当m≠0时，函数y=mx+m是一次函数，
m＞0时，其图象过一二三象限，D选项符合，
m＜0时，其图象过二三四象限，没有选项的图象符合，
故选D．
点评： 本题考查一次函数的图象的性质，利用图象假设m的符号，分别分析是解题关键．
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8．甲、乙两同学同时从学校出发，步行10千米到某博物馆，已知甲每小时比乙多走1千米，结果乙比甲晚20分钟．设乙每小时走x千米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，根据题意可得：走10千米，乙比甲多用20分钟，据此列方程．
解答： 解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，
由题意得﹣=．
故选D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
9．方程2x3﹣16=0的根是 x=2 ．
考点： 高次方程．
分析： 求出x3=8，两边开立方根，即可求出x．
解答： 解：2x3﹣16=0，
2x3=16，
x3=8，
x=2，
故答案为：2．