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初三数学试卷
（时间100分钟，满分150分）
一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．如果两个相似三角形的对应边之比是，那么它们的对应的角平分线之比是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）．
2．在中,所对应的边分别是，那么的正弦值等于（ ）.
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．抛物线的开口向下，那么的取值范围是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）．
O
y
x
第4题图
4．如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）．
5．如果向量满足，那么用表示正确的是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）.
6．如图，已知∥∥，那么下列结论正确的是（ ）
（A）； （B） ；
（C）； （D）．
第6题图
二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）
7．已知，那么 ．
8．计算： ．
9．如果抛物线经过点，那么它的解析式是 ．
10．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的表达式是 ．
11．抛物线在轴的左侧部分的图像是 .（填“上升”或“下降”）
12．如果二次函数的图像经过点，那么 ．
13．如果抛物线的对称轴是，那么 ．
14．如图，当小明沿坡度的坡面由到行走了100米，
第14题图
那么小明行走的水平距离 米．
（结果可以用根号表示）
15．在中，，那么 ．
16．如图，平行四边形中，是边上的点，
交与点，如果，，
第16题图
那么 ．
17．已知是的重心，点分别是边的点，∥，且经过重心，如果的周长是30厘米，那么的周长是 厘米．
18．在中，，是的高，如果和相似，那么的度数为 ．
三、（本题共有7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
（第19题图）
如图，已知两个不平行的向量、．
先化简，再求作：
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
第20题图
20．（本题满分10分）
如图，在中，是边上一点，是边上一点．
且满足，，．
求线段的长．
第21题图
21．（本题满分10分）
如图，在四边形中，∥，
，求的长和的值．
22．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）
第22题图
小明在电视塔上高度为米的处，测得大楼楼顶的俯角为。小杰在大楼楼底处测得处的仰角为.
（1）求大楼与电视塔之间的距离；
（2）求大楼的高度（精确到1米）．
（参考数据：）
A
B
C
E
D
第23题图
23、（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）
已知：如图，．
（1）求证：；
（2）当°时，求证：．
24．（本题满分12分，每小题各4分）
第24题图
如图，在直角平面坐标系中，的顶点坐标分别是分别是、、，抛物线经过点、、，抛物线的对称轴与交于点.
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）联接，求的正切值；
（3）过点作，交抛物线于点，求点坐标.
第25题图
25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题满分各4分，第（3）小题满分6分）
如图，中，，，，
是边上的一个动点。
（1）当时，求的长；
（2）当平分时，求点到的距离；
（3）过点作，交边于，
设，求关于的函数关系式，
并写出定义域。
金山区 2025学年第一学期期终质量检测
参考答案及评分说明
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．．B
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8． ； 9．； 10． ；
11．上升； 12．； 13．； 14．；
15．9； 16．； 17．20； 18．．
三、解答题
19．
解：原式=……………………………………3分
= ……………………………………………………………3分
作图（略）………………………………………………………4分
20．解：∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD
∴△ADE∽△ABD．
∴……………………………………4分
又∵∠C=∠ADE
∴
∵，
∴……………………………………2分
∴
解得……………………………………3分
∴线段的长为。……………………………………1分
21． 解：
过点A点、B点分别作AE⊥BC，DF⊥BC．…………1分
由题意可知：AD=EF=2，AE=DF
∵AB∥BC
∴
∵．
∴
在中
∴，……4分
∴
在中,
由勾股定理可得：
…………………………2分
…………………………1分
∴…………………………1分
∴的长为，的值为…………………………1分
22．解：
(1)由题意可知：，，
在中, …………………………2分
∴，解得…………………………1分
∴大楼与电视塔之间的距离的长为。…………………………1分
(2)过点D点作DF⊥AB，垂足为F．…………1分
由题意可知：，，
，
在中,
∴…………………………3分
∴…………………………1分
∴大楼的高度约为。…………………………1分
23．证明：（1）
∵
∴△ABC∽△DEF ………………………3分
∴， ………………………1分
∴ ………………………1分
又∵
∴ ………………………1分
∴△ABD∽△ACE ………………………3分
∴ ………………………1分
∵
∴
∴ ………………………2分
即
24．解：
（1）把A（1，0）、B (－3，0)、C（0，3）代入中
解得：
抛物线的解析式为 ………………………3分
配方得：
所以抛物线的对称轴为直线………………………1分
设直线BC的解析式为（）
把B (－3，0)、C（0，3）代入中
解得：
直线BC的解析式为…………………1分
把代入，得
所以点E的坐标为(－1，2) …………………1分
（2）
解法1：
，，，
∴，，，
E
H
F
∴，；∴
又，∴∽，…………………2分
∴…………………1分
∴在，
∴…………………1分
解法2：过O点作，垂足为H。………………1分
由题意可得，△EFB是Rt△ ，，则，。
，， ，∴………………2分
E
H
F
G
∴在Rt△EHO中， ………………1分
（3）
作交轴于点，交抛物线于点，
由，可得，∴
∴点的坐标为………………2分
由，，
解得直线的解析式为………………1分
解，解得
，解得，，………………2分
∴P点坐标为(2，－5) ………………1分
25．
D
A
B
C
P
解：（1）作
在中，
………………1分
在与，
，
∴，∴
解得，………………2分
，，。………………1分
E
A
B
C
P
（2）作
平分，，
∴，
又，，
∴.………………1分
A
B
C
P
备用图
F
，，AC∥PE,
∴，即，………………2分
解得………………1分
G
（3）作,，
可得∽，………………2分
由，，可得，………………1分
则，
那么………………1分
，
解得
………………1分
定义域为………………1分第25题图