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(1)如图1:
①依题意补全图1；
②判断DP与CQ的数量关系并加以证明；
(2)若正方形ABCD的边长为，当 DP=1时,试求∠PHQ的度数.
28题备用图
28题图1
28．（门头沟一模）在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．
（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD交于M，AE'的延长线与BD交于N．
① 依题意补全图1；
② 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．
（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）
图1 图2
28.（ 2025延庆一模） 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”．
例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣”
为点（－5，－6）．
（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；
② 如果点A（3，－1），B（－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数的图象上，那么这个点是 （填“点A”或“点B”）．
（2）①点（－1，－2）的“妫川伴侣”点M的坐标为 ；
② 如果点（m+1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N的“妫川伴侣”，
求点N的坐标．
（3）如果点P在函数（－2＜x≤a）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y′的取值范围是－4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是 ．
28. （ 2025东城一模）如图，等边△ABC，其边长为1， D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°.
（1）直接写出DE与DF的数量关系；
（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.
备用图
28.（ 2025房山一模）如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD.
（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.
①依题意补全图1；
②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；
（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明.
（图1） （图2）
28（ 2025海淀一模）．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以
AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1.
①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB =，则GE的
长为_______，并简述求GE长的思路．
图1 备用图
28．（ 2025平谷一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．
（1）依题意补全图1；
（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；
（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果）．
备用图
图1
28（石景山一模）．在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．
（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；
（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与
∠CBE的数量关系并证明；
（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE，请写出求
cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．
28．（ 2025顺义一模）已知：在△ABC中，∠BAC=60°．
如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP
①依题意补全图1；
②直接写出PB的长；
如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；
如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=，PB=5，∠APC=120°，请直接写出PC的长．
28（ 2025通州一模）．△ABC中，，，于点，于点.
（1）如图1，作的角平分线交于点，连接AF. 求证：；
（2）如图2，连接，点G与点D关于直线对称，连接、.
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段、、之间的数量关系，并加以证明.
28．（ 2025西城一模）在正方形中，点是射线上一个动点，连接，，点，分别为，的中点，连接交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________；
（2）当点在线段的延长线上时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断的形状，并加以证明；
（3）点与点关于直线对称，且点在线段上，连接，若点恰好在直线上，正方形的边长为2，请写出求此时长的思路．（可以不写出计算结果）
图1 图2 图3
28（ 2025燕山一模）．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB＝，∠ACE＝，∠AEC＝．
图1
图2
(1) 依题意补全图1；
(2) 若＝15°，直接写出和的度数；
(3) 如图2，若60°<<120°，
①判断，的数量关系并加以证明；
②请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）
图1
图2
图3
28. （怀柔）（1）
①如图1…................................. .....….1分
②DP=CQ. 如图2 …................................. .....….2分
∵HA绕点H顺时针旋转 90º与边CD (或CD延长线)交于点P
∴∠AHP=90°，即∠3+∠4=90°.HA=HP.
∵HQ⊥BD交射线DC于点Q；
∴∠QHD=90°，即∠QHP+∠4=90°.
∴∠QHP=∠3. …................................. .....….3分
∵四边形ABCD是正方形；
∴∠1=∠2=45°,DA=CD.
∴∠Q=∠1=∠2=45°.
∴△QHP≌△DHA.
∴DA=QP. …................................. .....….4分
∴QP=CD.
∴QP-PC=CD-PC
∴CQ=PD. …................................. .... ..................….5分
（2）①如图3,当点P在边CD上时，连接AP.
∵正方形边长为，PD=1,∠ADP=90°.
∴tan∠APD=.
∴∠APD=60°.
∵HA=HP，∠AHP=90°.
∴∠APH=45°.
∴∠HPD=105°.
∵∠Q=45°.
∴∠PHQ=60°........... …................................. .... ..................….6分
②如图4,当点P在边CD延长线上时，连接AP.
图4
∵正方形边长为，PD=1,∠ADP=90°.
∴tan∠APD=.
∴∠APD=60°.
∵HA=HP，∠AHP=90°.
∴∠APH=45°.
∴∠HPD=15°.
∵∠HQD=45°.
∴∠PHQ=120°
综上所述，∠PHQ的度数为120°或60°. ......... …................................. .... ..................….7分
28．（门头沟一模）（本小题满分7分）
解：（1）∠BAE=45°．…………………………………………………………………1分
（2） ① 依题意补全图形（如图1）；………………………………………2分
② BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2．………………3分
证明：如图1，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得△AFB．
∴∠ADB=∠FBA，∠1=∠3，DN=BF，AF=AN．
∵正方形ABCD，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠ABD=45°．
∴∠FBM=∠FBA +∠ABD
=∠ADB+∠ABD=90°．
∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2．
∵旋转△ABE得到△AB'E'，
图1
∴∠E'AB'=45°，
∴∠2+∠3=90°－45°=45°，
又∵∠1=∠3，
∴∠2+∠1=45°．
即∠FAM=45°．
∴∠FAM =∠E'AB'=45°．
又∵AM=AM，AF=AN，
图2
∴△AFM≌△ANM．
∴FM=MN．
又∵FB2+BM2=FM2，
∴DN2+BM2=MN2．………………………………………………5分
（3）判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：
a．如图2，将△ADF绕点A瞬时针旋转90°得△ABG，推出DF=GB；
b．由△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF=DF+BE；
c． 由DF=GB和EF=DF+BE推出EF=GE，进而得△AEG≌△AEF；
d．由△AEG≌△AEF推出∠EAF=∠EAG=45°；
e．与②同理，可证MN2=BM2+DN2．………………………………………7分
28.（ 2025延庆一模） 解：（1）①（2，1）；………………………………………………1分
② 点B．…………………………………………………………………………2分
（2）① M（－1，2）；…………………………………………………………………3分
② 当m+1≥0，即m≥－1时，由题意得N（m+1，2）．
∵点N在一次函数y=x+3图象上，
∴m+1+3=2，
解得m=－2（舍）. ……………………………………………………………4分
当m+1＜0，即m＜－1时，由题意得N（m+1，－2）．
∵点N在一次函数y=x+3图象上，
∴m+1+3=－2，
解得m=－6. ……………………………………………………………………5分
∴N（－5，－2）．………………………………………………………6分
（3）2≤a＜．……………………………………………………………………7分
28.（ 2025东城一模）解：
（1）相等. …………1分
（2）思路：延长FD至G，使得GD=DF，连接GE，GB.
证明△FCD≌△GBD，△GED为等边三角形，
∴△GED为所求三角形.
最大角为∠GBE=120°. …………4分
（3）过D作DM，DN分别垂直AB，AC于M，N.
∴∠DMB=∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°.
又∵DB=DC，∠B=∠C，
∴△DBM≌△DCN.
∴DM=DN.
∵∠A=60°，∠EDF=120°，
∴∠AED+∠AFD=180°.
∴∠MED=∠AFD.
∴△DEM≌△DFN.
∴ME=NF.
∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN=.
…………7分
28.（房山一模） （1）①补全图形,如图1 ------------------------------1分
②判断: AE=BD --------------------2分
证明：如图2，连接AC
∵BA=BC，且∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
28-图2
∴∠ACB=60°，且CA=CB
∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE
∴CD=CE，且∠DCE=60°
∴∠BCD=∠ACE
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD ------------------------------3分
（2）判断： ------------------------4分
（3）判断： -------------------------5分
证明：如图3,连接AC
∵BA=BC，且∠ABC=60°
28-图3
∴△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°，且CA=CB
将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF、EA
∴CE=CF，且∠FCE=60°，
∴△CEF是等边三角形
∴∠CFE=60°，且FE=FC
∴∠BCF=∠ACE
∴△BCF≌△ACE（SAS）
∴AE=BF ---------------------------------6分
∵∠AFC=150°, ∠CFE=60°
∴∠AFE=90°
在Rt△AEF中， 有：
∴. ---------------------------------7分
28.（海淀一模） 解:(1) ①补全图形，如图1所示． ………………………1分
图1
②和的数量关系：，位置关系：．…………………2分
证明: 如图1．
∵，
∴，．
∵射线、的延长线相交于点，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．
∴△≌△．…………………3分
∴．
∴，．
∴，．…………………4分
(2) ．…………………5分
思路如下：
a. 由为中点画出图形，如图2所示．
b. 与②同理，可得BD=CF，，；
c. 由，为中点，可得；