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(1)求AB的长;
(2)如图,当⊙P与⊙O外切时,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当∠OCA=∠OPC时,求⊙P的半径.
<解答>
解:(1)在O中,作OD⊥AB,垂足为D,
在Rt△OAD中,cos∠BAO=ADOA=13,
∴AD=13AO=1,∴BD=AD=1,∴AB=2AD=2.
(2)连接OB、PA、PC,
∵P与O相切于点A,∴点P、A、O在一直线上.
∵PC=PA,OA=OB,∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA,
∴PC∥OB.∴ACAB=PAAO,∴AC=PA⋅ABAC=2x3,
∵OD2=OA2-AD2=32-12=8,CD=AD+AC=23x+1,
∴OC=OD2+CD2=(23x+1)2+8,
∴y=134x2+12x+81,(定义域为x＞0).
(3)当P与O外切时,
∵∠BOA=∠OCA,∠CAO=∠POC,
∴△OAC∽△OCP.∴OAOC=OCOP,∴OC2=OA⋅OP,
∴19(4x2+12x+81)=3(3+x),∴x1=0(不符合题意,舍去),x2=154,
∴这时P的半径为154,
如图:当P与O内切时,
△CAO∽△PAC,∴ACPA=AOAC,∴23xx=323x 解得:x=274
∴这时P的半径为274,∴P的半径为154或274.
2.（ 2025年奉贤25）已知:如图1,在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,AD=2,AB=3,tanC=12,点P是AD延长线上一点,F为DC的中点,联结BP,交线段DF于点G.
(1)若以AB为半径的⊙B与以PD为半径的⊙P外切,求PD的长;
(2)如图2,过点F作BC的平行线交BP于点E,
①若设DP=x,EF=y,求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
②联结DE和PF,若DE=PF,求PD的长.
<解答>
解:(1)∵在直角三角形ABP中,AD=2,AB=3,DP=x,
∴BP=32+(2+x)2,
∵以AB为半径的B与以PD为半径的P外切,
∴BP=AB+PD,∴32+(2+x)2=3+x,解得:x=2,
∴PD的长为2时,以AB为半径的B与以PD为半径的P外切.
(2)①联结DE并延长交BC于点M,
∵F为DC的中点,EF∥BC,
∴DE=EM,∴CM=2EF,∵AD∥BC,∴△DEP≌△MEB,∴DP=BM,
过D作DH⊥BC于点H,
∵tanC=12,DH=3,∴CH=6,∵AD=BH=2,∴BC=8,
∵DP=x,EF=y,BC=BM+CM
∴x+2y=8,∴y=8-x2(0＜x⩽8);
②∵AD∥EF,DE=PF,
当DP=EF时,四边形DEFP为平行四边形.∴y=x,∴x=83,
当DP≠EF时,四边形DEFP为等腰梯形,
过E作EQ⊥AP于点Q,DQ=x-y2.
∵EQ∥AB,BE=PE,∴AQ=2+x2,
∴DQ=2+x2-2,∴x-y2=2+x2-2,解得:x=4,
∴PD的长为83或4.
3.（ 2025年虹口25）如图,扇形OAB的半径为4,圆心角∠AOB=90˚,点C是AB上异于点A、B的一动点,过点C作CD⊥OB于点D,作CE⊥OA于点E,联结DE,过O点作OF⊥DE于点F,点M为线段OD上一动点,联结MF,过点F作NF⊥MF,交OA于点N.
(1)当tan∠MOF=13时,求OMNE的值;
(2)设OM=x,ON=y,当OMOD=12时,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)在(2)的条件下,联结CF,当△ECF与△OFN相似时,求OD的长.
<解答>
解: (1)如图1,∵∠AOB=90°,CE⊥OA,CD⊥OB,
∴四边形ACDO是矩形,
∴DE=OC=4,∵OF⊥DE,∴OF2=DF⋅FE,
∵tan∠MOF=13,∴DFOF=13,即DF=13OF,
∴OF2=13OF⋅FE,即OFFE=13,
∵∠MFO+∠OFN=∠NFE+∠OFN=90°,
∴∠MFO=∠NFE,∵∠MOF+∠ODE=∠NEF+∠ODE=90°,
∴∠MOF=∠NEF,∴△OMF∽△ENF,
∴OMNE=OFEF=13,即OMNE=13,
(2)如图2,连接MN,
设OM=x,ON=y,
∵OMOD=12,即OD=2OM,△OFD是直角三角形,
∴OM=MD=MF=x,∵∠MON=∠MFN=90°,
∴MN是∠ONF的角平分线,∴MN是OF的中垂线,
∴ON=NF,可得∠FON=∠NFO,
∵∠FON+∠NEF=∠NFO+∠NFE,
∴∠NEF=∠NFE,∴ON=NE=NF=y,
∵DE=OC=4,
在Rt△DOE中,OD2+OE2=DE2
∴(2x)2+(2y)2=42,即y2=4-x2(0＜x＜2),
(3)如图3,
①∵△ECF∽△OFN,∴OFON=ECEF,
利用△DOE的面积,12OE⋅OD=12DE⋅OF
∵OD=2x,OE=2y,DE=4,∴12×2y×2x=12×4⋅OF,
解得,OF=xy,∵OE=2y,
∴EF=OE2-OF2=4y2-(xy)2=y4-x2,
由(2)y2=4-x2,∴EF=y2,∵CE=OD=2x,∴xyy=2xy2,
解得y=2,代入x2+y2=4,得x=2,∴OD=2x=22,
②∵△ECF∽△ONF,∴ECON=EFOF,
利用△DOE的面积,12OE⋅OD=12DE⋅OF,
∵OD=2x,OE=2y,DE=4,∴12×2y×2x=12×4⋅OF,
解得,OF=xy,
∵OE=2y,∴EF=OE2-OF2=4y2-(xy)2=y4-x2,
由(2)y2=4-x2,∴EF=y2,∵CE=OD=2x,∴2xy=y2xy,
解得,y=2x,代入x2+y2=4,得x=233,∴OD=2x=433,
综上所述OD的长为22或433.
4.（ 2025年黄浦25）如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠A=60°.
(1)求证:BD⊥BC;
(2)延长CB至G,使BG=BC,E是边AB上一点,F是线段CG上一点,且∠EDF=60°,设AE=x,CF=y.
①当点F在线段BC上时(点F不与点B、C重合),求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
②当以AE为半径的⊙E与以CF为半径的⊙F相切时,求x的值.
<解答>
解:(1)过点D作DH⊥AB,垂足为H,
在Rt△AHD中,AH=AD⋅cosA=BC⋅cosA=1,
∵AHAD=12,BCCD=12,∴AHAD=BCCD,即AHBC=ADCD.
又∵∠C=∠A=60°,∴△AHD∽△CBD,
∴∠CBD=∠AHD=90°,∴BD⊥BC;
(2)①∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=90°,
∵∠BDH+∠HDA=90°,∠A+∠HDA=90°,
∴∠BDH=∠A=60°,
∵∠EDF=60°,∴∠BDH=∠EDF,即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE,
∴∠EDH=∠FDB,
又∵∠EHD=∠CBD=90°,∴△EHD∽△FBD,
∴DHBD=EHBF,∴323=x-12-y,∴y=4-2x(1＜x＜2);
②连接EF,分三种情况:
1∘当点F在线段BC(点F不与点B、C重合)上时,
∵△EHD∽△FBD,∴DHBD==BDDF.
又∵∠BDH=∠EDF,∴△BDH∽△FDE,∴∠DEF=90°,
在Rt△EDH中,DE=EH2+DH2=x2-2x+4,
∴EF=DE⋅tan60°=3⋅DE=3x2-6x+12,
i)当E与F内切时,|x-(4-2x)|=3x2-6x+12,
解得,x1=9+576(舍),x2=9-576(舍);
ii)当E与F外切时,x+(4-2x)=3x2-6x+12.
解得x1=1(舍),x2=-2(舍);
2∘点F与点B重合时,即x=1时,两圆外切;
3∘当点F在线段BG(点F不与点B重合)上时,
易得CF=4-2x,且△BDH∽△FDE仍然成立,
∴EF=3x2-6x+12,
由1∘计算可知x=9-576时两圆内切.
综上所述,当x=1时,两圆外切,当x=9-576时,两圆内切.
6.（ 2025年普陀25）如图,已知在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D为BC边上一动点(不与点B重合),过点D作射线DE交AB于点E,∠BDE=∠A,以点D为圆心,DC的长为半径作⊙D.
(1)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(2)当⊙D与边AB相切时,求BD的长;
(3)如果⊙E是以E为圆心,AE的长为半径的圆,那么当BD为多少长时,⊙D与⊙E相切？
<解答>
解:(1)如图,∵∠B=∠B,∠BDE=∠A,
∴△BDE∽△BAC,
∴BDBA=BEBC,
∵AB=AC=5,BC=6,BD=x,AE=y,
∴x5=5-y6,即y=5-65x,
∵0＜x⩽6,且0＜y⩽5,
∴0＜x⩽256,
综上所述,y关于x的函数关系式及其定义域为:y=5-65x(0＜x⩽256);
(2)如图,假设AB与D相切于点F,连接FD,则DF=DC,∠BFD=90°,
过点A作AG⊥BC于点G,则∠BGA=90°,
∴在△BFD和△BGA中,∠BFD=∠BGA=90°,∠B=∠B,
∴△BFD∽△BGA,
∴DFAG=BDBA,
又∵AB=AC=5,BC=6,AG⊥BC,
∴BG=12BC=3,AG=AB2-BG2=52-32=4,
∴6-BD4=BD5,解得BD=103,
(3)∵由(1)知,△BDE∽△BAC,
∴BDBA=DEAC,即BDDE=BAAC=1,
∴BD=DE,
如图2,当D与E相外切时.
AE+CD=DE=BD,
∵由(1)知,BD=x,AE=y,y关于x的函数关系式是y=5-65x,
∴5-65x+6-x=x,
解得,x=5516,符合0＜x＜256,
∴BD的长度为5516.
如图3,-AE=DE=BD,
∵由(1)知,BD=x,AE=y,y关于x的函数关系式是y=5-65x,
∴6-x-5+65x=x,解得,x=54,符合0＜x＜256,
∴BD的长度为54,
综上所述,BD的长度是5516或54.
7.（ 2025年徐汇25）如图,已知∠MON两边分别为OM、ON, sin∠O=35且OA=5,点D为线段OA上的动点(不与O 重合),以A为圆心、AD为半径作⊙A,设OD=x.
(1)若⊙A交∠O的边OM于B、C两点,BC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A'.
①若⊙A'与直线OA相切,求x的值;
②若⊙A'与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切,求x的值.
<解答>
解:(1)作AH⊥OM于H,如图1,
在Rt△OAH中,OA=5,sin∠AOH=AHOA=35,
∴AH=3,
∵AH⊥BC,
∴CH=BH=12BC=12y,
∵OD=x,
∴AD=5-x,
在Rt△ACH中,AC=5-x,AH=3,CH=12y,
∴(12y)2=(5-x)2-32,
∴y=2x2-10x+16(0＜x＜2);
(2)①作A'E⊥OA于E,如图,
∵A沿直线OM翻折后得到A',
∴A'H=AH=3,A'的半径为5-x,
在Rt△OAH中,OH=OA2-AH2=4,
∵A'与直线OA相切,
∴A'E=5-x,
∵∠HAO=∠EAA',
∴Rt△OAH∽Rt△A'AE,
∴OA:AA'=OH:A'E,即5:6=4:(5-x),
∴x=15;
②当D与A'外切时,作A'G⊥OA于G,连结A’D,如图3,
∵A'与以D为圆心、DO为半径的D相切,
∴A'D=x+5-x=5,