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一级训练
1．( 2025年江苏宜昌)如图4－3－23，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于( )
A．20 B．15 C．10 D．5
图4－3－23
2．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．( 2025年江苏无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补
4．( 2025年湖南张家界)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
5．如图4－3－24，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是( )
图4－3－24
A．2 B．4 C．2 D．4
6．( 2025年天津)如图4－3－25，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( )
图4－3－25
A. －1 B．3－ C.＋1 D. －1
7．( 2025年江苏南京)如图4－3－26，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为________cm2.
图4－3－26
8．( 2025年江苏淮安)在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝，使四边形
ABCD是矩形．你添加的条件是__________(写出一种即可)．
9．( 2025年吉林长春)如图4－3－27，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为______．
图4－3－27
10．( 2025年广东模拟)已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内的一点，且PB＝PD＝2 ，那么AP的长为__________．
11．( 2025年陕西)如图4－3－28，在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE.
图4－3－28
12．如图4－3－29，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
图4－3－29
二级训练
13．如图4－3－30，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
图4－3－30
14．( 2025年四川宜宾)如图4－3－31，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE
平分∠ACD交BD于点E，则DE＝______.
图4－3－31
15．( 2025年山东青岛)已知：如图4－3－32，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.
(1)求证：BE＝DF；
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，？并证明你的结论．
图4－3－32
m 三级训练
16．( 2025年广东深圳)如图4－3－33(1)，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8 cm，AB＝6 cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.
(1)求证：AG＝C′G；
(2)如图4－3－33(2)，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
(1) (2)
图4－3－33
第2课时 特殊的平行四边形
【分层训练】
1．B
7．2
8．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，写出一种即可)
9．3 或4
11．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.
又∵BE⊥AG，DF⊥AG，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.
又∵AD＝AB，
∴△ADF≌△BAE.
12．解：(1)四边形OCED是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形.
(2)，得CD⊥OE，
∴OE∥BC.
又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形．
∴OE＝BC＝8.
∴S四边形OCED＝OE·CD＝×8×6＝24.
13．D 14.－1
15．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.
∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.
∴BE＝DF.
(2)解：四边形AEMF是菱形．证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC.
∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF，即CE＝CF.
∴OE＝OF.
∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．
∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．
16．(1)证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，
∴在△GAB与△GC′D中，
∴△GAB≌△GC′D.
∴AG＝C′G.
(2)解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM＝4 cm，NM＝3 cm.
由折叠及平行线的性质，得
∠END＝∠NDC＝∠NDE，
∴EN＝＝x，则ED＝EN＝x＋3.
由勾股定理，得ED2＝EM2＋DM2，
即(x＋3)2＝x2＋42.
解得x＝，即EM＝.