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说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题〔此题总分值64分，每题8分〕
函数的值域是 .
解：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.
函数的最小值为，那么实数的取值范围是 .
解：令，那么原函数化为，即
.
由 ，
，
及 知
即 〔1〕
当时〔1〕总成立；
对；
对.
从而可知 .
双曲线的右半支与直线围成的区域内部〔不含边界〕整点〔纵横坐标均为整数的点〕的个数是 9800 .
解：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，那么线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为
.
又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
.
是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，那么 .
解：设的公差为的公比为，那么
〔1〕
， 〔2〕
〔1〕代入〔2〕得
，求得.
从而有 对一切正整数都成立，
即 对一切正整数都成立.
从而 ，
求得 ， .
函数 在区间上的最大值为8，那么它在这个区间上的最小
值是 .
解：令那么原函数化为,在上是递增的.
当时，,
，
所以 ；
当时，，
，
所以 .
综上在上的最小值为.
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜， .
解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为
.
正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,那么 .
解一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，，那么，从而，
.
设分别与平面、平面垂直的向量是
、，那么
由此可设 ，
所以，
即.
所以 .
解二：如图， .
设与交于点 那么
.
从而平面 .
过在平面上作,垂足为.
连结,那么为二面角的平面角.
设,那么易求得
.
在直角中，,
即 .
又 .
.
方程满足的正整数解〔x,y,z〕的个数是 336675 .
解：首先易知的正整数解的个数为 .
把满足的正整数解分为三类：
〔1〕均相等的正整数解的个数显然为1；
〔2〕中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设两两均不相等的正整数解为.
易知 ，
，
.
从而满足的正整数解的个数为
.
二、解答题〔此题总分值56分〕
9.〔本小题总分值16分〕函数，当时，，试求的最大值.
解一：
由 得 〔4分〕
. 〔8分〕
所以
，
. 〔12分〕
又易知当〔为常数〕满足题设条件，所以最大值为.〔16分〕
解二：.
设，那么当时，.
设 ，那么.
. 〔4分〕
容易知道当时，. 〔8分〕
从而当时， ，
即 ，
从而 ,，
由 知. 〔12分〕
又易知当〔为常数〕满足题设条件，所以最大值为.
〔16分〕
10.〔本小题总分值20分〕抛物线上的两个动点，，求面积的最大值.
解一：设线段的中点为，那么
，
.
线段的垂直平分线的方程是
. 〔1〕
易知是〔1〕的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 〔5分〕
由〔1〕知直线的方程为
，即 . 〔2〕
〔2〕代入得
，即 .〔3〕
依题意，是方程〔3〕的两个实根，且，所以
,
.
.
定点到线段的距离
. 〔10分〕
. 〔15分〕
当且仅当，即,或时等号成立.
所以面积的最大值为. 〔20分〕
解二：同解一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 〔5分〕
设，那么
的绝对值,
〔10分〕
,
, 〔15分〕
当且仅当且，
即 ,或
时等号成立.
所以面积的最大值是. 〔20分〕
11.〔本小题总分值20分〕数列满足.
求证: . 〔1〕
证明：由 知 ，
. 〔2〕
所以
即 . 〔5分〕
从而
.
所以〔1〕等价于
，
即 . 〔3〕 〔10分〕
由 及 知 .
当时 ，， ，
即时，〔3〕成立.
设时，〔3〕成立，即 .
当时，由〔2〕知
； 〔15分〕
又由〔2〕及 知 均为整数，
从而由 有 即 ，
所以 ，
即〔3〕对也成立.