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黄凤英
信息科学与计算学院
内积的定义
重要内容
内积的性质
向量的长度和夹角
正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵
正交变换
定义1 设有 n 维向量
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn , [x, y] 称为向
量 x 与 y 的内积.
一、内积的定义
内积是向量的一种运算，运算成果是一种实数
阵记号表达.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx .
这种运算也可用矩
例如：
（1） [x, y] = [y, x];
（2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
下列性质：
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
度和夹角.
广.
并且反过来，运用内积来定义 n 维向量的长
念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推
维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概
因此 n 维向量的内积是数量积的一种推广.
但 n
( x1, x2, x3 ) · (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
且在直角坐标系中，有
x · y = |x| |y| cos ,
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义
定义2 令
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
(1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||.
是一种单位向量，称这
当 x 0 时，
一运算为将向量x原则化或单位化。
向量的长度具有下列性质:
2. 长度的性质
例如：单位化x
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
(当 || x || || y || 0 时),
令
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
量正交.
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交.
显然,若
讲解书例1