文档介绍：自适应滤波算法与实现
第二章自适应滤波基础
本章主要包括以下内容
引言
信号表示
相关矩阵*
维纳滤波器*
线性约束维纳滤波器
均方误差曲面*
偏差和一致性
牛顿算法*
最陡下降算法*
应用回顾
本章包括了对确定性信号和随机信号表示方法的简单回顾,由于内容比较多,我们只对那些与自适应滤波有直接联系的概念进行回顾。此外,我们对输入信号的自相关矩阵的特点也进行了详细讨论。
本章还介绍了维纳解,它代表用线性组合器实现的离散时间滤波器的最小均方误差(MSE)解。这个解不仅依赖于输入信号的相关矩阵,而且还依赖于输入信号向量元素与参考信号之间的互相关值。这些相关值构成了MSE曲面的参数,该曲面是自适应滤波器系数的二次函数。本章也给出了线性约束维纳解,这是在天线阵列处理应用中常常会用到的技术。
实际上,决定MSE曲面形状的参数是不能得到的。我们只有用得到的数据对这些参数进行直接或间接的估计,然后研究利用这些估计值搜索MSE曲面的自适应算法。,使得自适应滤波器系数在某种意义上收敛到维纳解。研究表明,牛顿算法和最陡下降算法可能是自适应滤波的搜索方法。尽管这两种算法都不能直接应用于实际的自适应滤波问题,但在这两种方法的启发下,产生了最小均方算法(LMS)和牛顿算法等实际算法,本章主要介绍牛顿算法和最陡下降算法。
信号表示
本节将简单回顾确定性和随机离散时间信号的一些概念。
我们将只回顾那些对理解自适应滤波来说比较重要的结论。
确定性信号
确定性离散时间信号由时间指标 k 的数学函数所表征,其
中k=0,±1,±2,±3…。下面是确定性信号(或者序列)一
个例子:
其中,u(k)是单位步长序列。
线性时不变滤波器对于输入x(k)的响应是由卷积求和给出
的,如下所示:
其中,h(k)是滤波器的冲激响应。
给定序列x(k)的Z变换的定义为
如果Z变换是在Z平面的某个给定区域中定义的,也就是说,上
述求和是在该区域中收敛的,那么卷积运算就可以用如下的
Z变换乘积代替为
Y(z)=H(z)X(z)
其中,Y(z),X(z)和H(z)分别是y(k),x(k)和h(k)的Z变换。考
虑到波形只能在k≥0时刻开始,并且具有有限功率,因此其Z
变换将总是在单位圆外部才有定义。
对于有限能量波形,利用下面定义的离散时间傅里叶变换会
更加方便:
尽管具有无穷能量的信号不存在离散傅里叶变换,但是如
信号具有有限功率,则广义离散傅里叶变换存在,并被广泛于
确定性信号。
随机信号
随机变量X是一个函数,对于某个给定的实验q,它都分配
一个数作为每次实验的输出。随机过程是一个规则,它描述随
机变量依赖于是q的时间变化关系,因此它是两个变量的函数X
(k, q)。所有实验输出的集合(即全体)是q 的域。有x (k)表
示给定过程在q固定时的一个样本,在这种情况下,如果k 也是
固定的,则x (k)是一个数。当对x (k)进行任何统计运算时,意
味着k是因定的而q是变量。本书中用x (k)表示一个随机信号。
不能对随机信号的波形进行准确描述,可能的方法是通过
测量统计量统计量或者一个概率模型来表征它。对于随机信号
而言,一阶和二阶统计量在大多数时候是足以用来表示随机过
程的,而且一阶和二阶统计量测量起来也很方便。另外,还很
容易考虑线性滤波处理对于这些统计量的影响。
现在,假设暂时考虑实数随机信号。随机过程的期望值
或者均值被定义为
期望值的定义可表示为
为了解释概率密度函数,需要将随机变量的分布函数定义
为P x (k) (y) = x (k)小于或者等于y的概率,或者定义为
分布函数的导数即为概率密度函数
随机过程x(k)的自相关函数的定义为
x(k)和x(l)的联合概率密度:
其中,P x (k),x(l)(y,z)为x(k) ≤y且x(l) ≤z的概率。
自协方差函数的定义为
其中,第二个等式可能根据均值和自相关函数的定义得到。
当k=l 时, 它是x(k)的方差。
概率密度函数的最重要的特殊例子是高斯密度函数,它
也被称为正态密度函数。高斯密度函数的定义为
其中,mx(k)和分别是x(k)的均值和方差。