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[基础强化]
一、选择题
1．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝，P(2<ξ<6)＝，则μ＝( )
B．5
．3
2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，)，则E(Y)和D(Y)分别是( )
3．设随机变量X～N(2，4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，则实数a的值为( )
．
．9
4．[2022·山东威海模拟]设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝，D(ξ)＝，则p＝( )
．
．
5．一个袋子中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取得一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )
．
．
6．[2022·山东东营一中模拟]甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为( )
．
．
7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
8．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
9．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是( )
(X＝2)＝
(X＝4)＝
(X)＝
二、填空题
10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
11．随机变量X～N(3，σ2)，且P(0<X<3)＝，则P(X>6)＝________．
12．在我校高三高考调研中，数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于
120分的有________人．
[能力提升]
13．(多选)[2022·山东泰安模拟]“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
，其株高在(80，90)和在(100，110)之间的概率一样大
14．(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( )
15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2021年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b，则＋的最小值为________．
16．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
专练54 二项分布、超几何分布与正态分布
1．C 由正态分布的特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝，
∴μ＝＝4.
2．B ∵X～B(10，)，∴E(X)＝10×＝6，D(X)＝10××(1－)＝，
又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，
∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝.
3．B ∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，
∴＝2，
得a＝.
4．A ∵随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝，D(ξ)＝，
∴，.
5．A 记得分为X，则X＝5，6，7，8.
P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝.
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.故选A.
6．A 由题意，甲在4局内(含4局)赢得比赛包含3种情况：
①甲胜第1、2局，概率为p1＝；
②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为p2＝×；
③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为p3＝××，
所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为
p＝＋×＋××＝.故选A.
7．B 由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝，
得pp＝，又P(X＝4)<P(X＝6)，
∴Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4，
∴(1－p)2<p2，∴p>，
∴p＝.
8．C 由图可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A不正确；
P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B不正确；
当t为任意正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝－1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D不正确．
9．ABD 记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1，
则P(A0)＝(1－)
＝，
P(A1)＝＋C··＝，
所以游客至多游览一个景点的概率为
P(A0)＋P(A1)＝＋＝，故A正确；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××＋×C××＝，故B正确；
P(X＝3)＝×C××＋×C×＝，
P(X＝4)＝×＝，故C错误；
数学期望为：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确，故选ABD.
10.
解析：∵∴1－p＝，∴p＝.
解析：∵X～N(3，σ2)，
∴P(X<3)＝.
又P(0<X<3)＝，
∴P(X<0)＝－＝，
∴P(X>6)＝P(X<0)＝.
12．78
解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤X≤120)＝，∴P(X>120)＝＝，
∴估计高于120分的有780×＝78人．
13．AC 正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，由题意知μ＝100，σ2＝100，所以该地水稻的平均株高为100cm，方差为100，故A正确；B错误；因为正态分布密度曲线关于直线x＝100对称，所以P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C正确；P(100<X<110)＝P(90<X<100)>P(80<X<90)，故D错误．故选AC.
14．ACD 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为＝，故A正确；
同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为＝，故B错误；
四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为＝，故C正确；
设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，
因为四人去第一餐厅就餐的概率都为，则ξ～B
所以E(ξ)＝4×＝，故D正确．
故选ACD.
15．32
解析：由ξ～N(1000，σ2)，P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b得a＝－b，所以a＋b＝，则＋＝2(a＋b)＝2≥2＝32，所以＋的最小值为32.
16.
解析：现从5个小球中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝.X的所有可能取值为0，1，(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.