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第六章 实二次型
山西财经大学 冯晨娇
第六章 实二次型
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
的几何性质，可以选择合适的坐标旋转变换
把方程化为原则形式
此类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际
问题中常会遇到 , 本章将把此类问题一般化 , 讨论
（1）n个变量的二次齐次多项式的原则化问题；
（2）用矩阵讨论二次型的原则化、正定性。
实二次型的基本概念及其原则形
实二次型的概念
称n个变量
的二次齐次
多项式：
…… …… …… …… …… …… …… …… ……
为n元二次型，
简称为二次型。
※
① 当aij为实数时，称为实二次型；
当aij为复数时，称为复二次型。
本章中只讨论实二次型.
1. 实二次型定义
② 只具有平方项的二次型
称为二次型的原则形.
例如：
是二元二次型；
是三元二次型；
不是二次型；
是四元二次型的原则形.
为了可以用矩阵来讨论二次型，在定义中，
令
，则
…… …… …… ……
2. 实二次型的矩阵表达
提 x1
提 x2
提 xn
设
则
称
为二次型的矩阵形式.
称实对称矩阵A为二次型XTAX的矩阵；
实对称矩阵A的秩称为二次型的秩.
称二次型XTAX为实对称矩阵A的二次型；
※ (1) 二次型XTAX与实对称矩阵A之间的关系：
一一对应关系.
(2) 二次型的矩阵A主对角线上的元素为二
次型平方项的系数；非主对角元为对应交叉项系数的二分之一。
性质1 二次型
为原则形的充足必要条件是A为对角矩阵.
证明：显然。
性质2 若二次型
其中A、B均为对称矩阵，则
※ 若矩阵A、B不是对称矩阵，则不一定有A=B。